Integral impliziter Funktion über Rand

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31.08.2017, 10:27	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral impliziter Funktion über Rand Meine Frage: Hallo, Ich verstehe folgenden Sachverhalt nicht. Es geht um den Beweis des Satzes 5.14 in dem Buch "Mathematische Modellierung von Eck, Garcke und Knabner". Und zwar um die letzten paar Zeilen mit der Abschätzung. Wir haben folgende Funktion w(x) gegeben: [attach]45192[/attach]. Im folgenden seht ihr (alles was unterstrichen ist ist wichtig) die Definitionen vom Gebiet bzw. vom Rand und das was am Ende übrig bleibt. [attach]45193[/attach] Wie man in der Skizze sehen kann, bleiben 2 Kreise mit Radius r jeweils oben und unten übrig, anschaulich beschrieben. Meine Ideen: Was ich nicht verstehen kann, seht ihr in folgendem Bild: [attach]45194[/attach] Man hat einen Graph der Form (x,y, H(x,y)) ; das heißt also eine implizit gegebene Funktion, oder ? Wie kommt man dann ... 1. auf den Term in der Wurzel? 2. Auf die gesamte Abschätzung? Ich dachte anfangs, da es sich um einen Kreis handelt, nehmen wir mal x^2+y^2+z^2 = r^2 her, also definiere ich F(x,y) = x^2+y^2+z^2-r^2 = 0 (implizit) und z = h(x,y) ....aber dann komm ich nicht weiter. Vielen Dank für eure Hilfe lissy
31.08.2017, 13:08	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral impliziter Funktion über Rand Weiß keiner einen Rat?
31.08.2017, 13:44	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral impliziter Funktion über Rand Das fällt in die Kategorie Oberflaeche nintegral, nicht implizite Funktion. Die Menge laesst sich (nach Voraussetzung an $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ , welche du unterschlagen hast), lokal als Graph einer glatten Funktion darstellen.
31.08.2017, 13:51	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral impliziter Funktion über Rand Das Gebiet soll beschränkt sein mit glattem Rand. Wie kann ich das aber herleiten, ich wollte Gauß anwenden, komme allerdings gar nicht klar
31.08.2017, 13:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral impliziter Funktion über Rand Man wendet auch nicht Gauß an, sondern die Definition eines Oberflächenintegrals, so wie es am Ende des Wikipedia-Artikel definiert wird.
31.08.2017, 14:35	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral impliziter Funktion über Rand Okay, auf den Term in der Wurzel mit dem h bin ich inzwischen gekommen, allerdings weiß ich immer noch nicht, wo l (Anzahl der Schnittstellen) und der Term im letzten Integral, mit dem 1 / ...im Betrag herkommt ?
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31.08.2017, 14:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ kommt dadurch, dass $\begin{eqnarray} \partial \Omega \setminus \partial \Omega_r \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ Flächen besteht. Eine für jedes Mal wo $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ die Menge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ schneidet. Wenn $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ eine Kugel ist, dann wäre $\begin{eqnarray} l =2 \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ komplizierter aussieht, eben mehr. Der Integrand ist einfach $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \|w\| \end{eqnarray}$ abgeschätzt. Und das ist genau das, wie man leicht nachrechnet.
31.08.2017, 14:44	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaaachso, das mit dem l ist jetzt klar. Aber nochmals, w schätzt man ab durch den Betrag- alles klar, aber der Betrag von w ist doch nicht 1 / Betrag blabla wie es im Integral steht ??
31.08.2017, 14:45	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
oh moment, doch ich habs Danke !
31.08.2017, 14:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch. Sogar exakt. Zeig mal wie du das rechnest. Edit: Hat sich wohl erleigit.

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