Beweis, dass Ausdruck unendlich viele Quadratzahlen liefert

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sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis, dass Ausdruck unendlich viele Quadratzahlen liefert
Hallo Forum
Der Ausdruck liefert für n=2, n=12, n=70, n=408, n=2378 und weitere jeweils eine Quadratzahl. Die größte Zahl mit dieser Eigenschaft die ich bisher ermittelt habe ist n=15994428.

Meine Frage: Fällt jemandem ein Beweis dafür ein, dass es unendlich viele Zahlen n mit dieser Eigenschaft gibt? Ein Gegenbeweis wäre natürlich ebenso wertvoll.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine spezielle Pellsche Gleichung.

Deine hier hat die Lösungen , welche gemäß für dargestellt werden können - und das sind dann auch tatsächlich alle positiv ganzzahligen Lösungspaare.

Die obige Darstellung kann man auch in eine Rekursion umschreiben:



mit Start .
 
 
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Cool, danke.

Pellsche Gleichung habe ich nie zuvor gehört.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eng verwandt mit der hier ist mit den Lösungen bzw. als Rekursion



mit Start :

Hier liefern nämlich die geraden Indizes alle Lösungen der Gleichung (also wie oben), und die ungeraden Indizes die der Gleichung (in deinen Worten oben sozusagen Quadratzahlen ), also immer im Wechsel.

sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht interessiert es hier noch, wie ich auf das Problem gestoßen bin.
Ursprünglich stand die diophantische Gleichung:



Die ist für a=5 und b=7 erfüllt. Man kann jetzt leicht zeigen, dass es für b-a=2 keine weiteren Lösungen gibt. Wenn man jetzt b=a+d setzt, kommt man auf eine quadratische Gleichung in a mit der Diskriminante
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist umgestellt zu ja gerade ein Teil der Gleichungen, die ich im letzten Beitrag besprochen hatte, wir sehen in der Auflistung ja auch die von dir genannte Lösung .

Deine Zusatzbedingung mit festem Abstand , also kann gemäß Rekursion zu umgeschrieben werden. D.h., nur die Werte, die für gerade annimmt (siehe letzte Spalte in der Tabelle) kommen auch als Abstand in Frage, und dann auch jeweils immer nur für eine Lösung.
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