Keplersche Fassregel: Volumen oder Flächeninhalt?

02.09.2017, 12:25	leenaz	Auf diesen Beitrag antworten »
Keplersche Fassregel: Volumen oder Flächeninhalt? Meine Frage: Hallo, ich muss die Keplersche Fassregel vorstellen, verstehe jedoch nicht genau wie ich mit ihr das Volumen berechne. Denn ich dachte, dass man mit der Formel den Flächeninhalt berechnet, doch wie komme ich nun auf das Volumen? Ich bin ziemlich verwirrt und wäre wirklich dankbar wenn mit jemand weiter helfen könnte wie und wo man es nun anwendet ?? Meine Ideen: Mit der Rotationskörper Formel, aber was hat die mit der Fassregel zu tun?
02.09.2017, 17:53	xb	Auf diesen Beitrag antworten »
Für das Volumen muss man wohl die 3 Funktionswerte durch Flächen ersetzen $\begin{eqnarray} \pi f^{2}(x_1) \end{eqnarray}$
02.09.2017, 18:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Original ist die Keplersche Faßregel tatsächlich eine Regel zur Bestimmung des Volumens eines Weinfasses. Kepler stellte fest, daß man das Volumen $\begin{align} V_{\text{Faß}} \end{align}$ näherungsweise als Mittelwert dreier Volumina erhält. Man nehme die drei Zylindervolumina $\begin{align} V_{\text{oben}}, V_{\text{Mitte}}, V_{\text{unten}} \end{align}$ , alle mit der Höhe des Weinfasses, aber mit verschiedenen Grundflächen: einmal mit der oberen Kreisfläche, das zweite Mal mit der Kreisfläche auf halber Höhe und das dritte Mal mit der unteren Kreisfläche als Grundfläche. [attach]45210[/attach] Nun könnte man alle drei Volumina addieren und durch 3 teilen. Das würde gehen, und man bekäme einen Näherungswert für das Volumen, das sogenannte arithmetische Mittel der drei Volumina. Kepler bemerkte allerdings, daß der Näherungswert besser wird, wenn man ein gewichtetes Mittel bildet. Das ist ähnlich wie bei Schulnoten. Sagen wir, in einem Fach gebe es eine schriftliche Note, eine mündliche Note und eine praktische Note. Die schriftliche Note zähle dreifach, die mündliche zweifach und die praktische einfach. Dann würde man die Gesamtnote doch so ausrechnen: $\begin{align} \text{gesamt} = \left( 3 \cdot \text{schriftlich} + 2 \cdot \text{mündlich} + 1 \cdot \text{praktisch} \right) : 6 = \frac{1}{6} \cdot \left( 3 \cdot \text{schriftlich} + 2 \cdot \text{mündlich} + 1 \cdot \text{praktisch} \right) \end{align}$ Und Kepler macht es ähnlich: die Volumina $\begin{align} V_{\text{oben}} \end{align}$ und $\begin{align} V_{\text{unten}} \end{align}$ werden einfach gewichtet, das Volumen $\begin{align} V_{\text{Mitte}} \end{align}$ vierfach: $\begin{align} V_{\text{Faß}} \approx \underbrace{\frac{1}{6} \cdot \left( 1 \cdot V_{\text{oben}} + 4 \cdot V_{\text{Mitte}} + 1 \cdot V_{\text{unten}} \right)}_{V_{\text{Kepler}}} \end{align}$ Wie Kepler darauf gekommen ist, genau diese Gewichtung zu verwenden, da bin ich überfragt. Ich glaube auch nicht, daß von dir verlangt wird, das zu recherchieren. Aber wir können einmal ein Beispiel rechnen. Dazu lassen wir den Graphen der Funktion $\begin{align} f(x) = \frac{3}{5} - \frac{5}{9} x^2 \, , \ \ x \in \left[ - \frac{3}{5} , \frac{2}{5} \right] \end{align}$ um die $\begin{align} x \end{align}$ -Achse rotieren ( $\begin{align} x \end{align}$ - und $\begin{align} y \end{align}$ -Werte aufgefaßt in Metern). Das Faß ist 1 m hoch (von -0,6 bis 0,4). [attach]45211[/attach] Wir können nun drei Volumina ausrechnen: $\begin{align} V_{\text{arithmetisch}} = \frac{1}{3} \left( V_{\text{oben}} + V_{\text{Mitte}} + V_{\text{unten}} \right) \end{align}$ $\begin{align} V_{\text{Kepler}} = \frac{1}{6} \cdot \left( V_{\text{oben}} + 4 \cdot V_{\text{Mitte}} + V_{\text{unten}} \right) \end{align}$ $\begin{align} V_{\text{exakt}} = \pi \int_{-0{,}6}^{0{,}4} \left( f(x) \right)^2 ~ \dd x \end{align}$ Du solltest die folgenden Werte erhalten (bitte nachrechnen, ich garantiere nicht für die Korrektheit der Werte): $\begin{align} V_{\text{oben}} \approx 0{,}50265 \, ; \ \ V_{\text{unten}} \approx 0{,}82069 \, ; \ \ V_{\text{Mitte}} \approx 1{,}11012 \end{align}$ Und damit können wir die beiden Mittelwerte bestimmen: $\begin{align} V_{\text{arithmetisch}} \approx 0{,}81116 \end{align}$ $\begin{align} V_{\text{Kepler}} \approx 0{,}90764 \end{align}$ Auf ganze Liter gerundet liefert also das arithmetische Mittel 811 Liter und die Kepler-Gewichtung 908 Liter. Das sind schon fast 100 Liter Unterschied! Und jetzt vergleichen wir das mit dem exakten Volumenwert, den wir mit der Integralformel für Rotationskörper ermitteln: $\begin{align} V_{\text{exakt}} \approx 0{,}95256 \end{align}$ Auf ganze Liter gerundet passen ins Weinfaß also tatsächlich 953 Liter. In diesem Beispiel unterschätzen also die beiden Näherungsformeln das tatsächliche Volumen, und zwar * das arithmetische Mittel um 142 Liter, also $\begin{align} \frac{142}{953} \approx 14{,}9 \% \end{align}$ * das Kepler-Mittel um 45 Liter, also $\begin{align} \frac{45}{953} \approx 4{,}7 \% \end{align}$ Das Beispiel zeigt, daß es nicht sinnvoll ist, die drei Volumina oben, in der Mitte und und unten gleich zu gewichten. Aber auch die Keplersche Faßregel liegt noch um fast 5 % daneben. Wenn man sich einmal anschaut, was man bei der Kepler-Regel eigentlich gerechnet hat, dann ist das, wenn man $\begin{align} a = -0{,}6 \end{align}$ und $\begin{align} b = 0{,}4 \end{align}$ sowie $\begin{align} g(x) = \pi \left( f(x) \right)^2 \end{align}$ und $\begin{align} h = b-a = 1 \end{align}$ (Faßhöhe) setzt, das Folgende: $\begin{align} V_{\text{oben}} = \pi \left( f(a) \right)^2 \cdot (b-a) = g(a) \cdot (b-a) \end{align}$ $\begin{align} V_{\text{unten}} = \pi \left( f(b) \right)^2 \cdot (b-a) = g(b) \cdot (b-a) \end{align}$ $\begin{align} V_{\text{Mitte}} = \pi \left( f \left( \frac{a+b}{2} \right) \right)^2 \cdot (b-a) = g \left( \frac{a+b}{2} \right) \cdot (b-a) \end{align}$ Und jetzt die Kepler-Gewichtung: $\begin{align} V_{\text{Kepler}} = \frac{1}{6} \left( g(a) \cdot (b-a) + 4 g \left( \frac{a+b}{2} \right) \cdot (b-a) + g(b) \cdot (b-a) \right) = \frac{1}{6} (b-a) \cdot \left( g(a) + 4 g \left( \frac{a+b}{2} \right) + g(b) \right) \end{align}$ Und das Ganze war eine Näherung für ein Integral: $\begin{align} \int_a^b g(x) ~ \dd x \ \approx \ \frac{1}{6} (b-a) \cdot \left( g(a) + 4 g \left( \frac{a+b}{2} \right) + g(b) \right) \end{align}$ Und jetzt löst man sich vom konkreten Zusammenhang mit der Faßberechnung und fragt sich, ob man die rechte Seite stets als Näherung für das Integral nehmen kann, auch bei anderen Funktionen $\begin{align} g(x) \end{align}$ , die nicht im Zusammenhang mit einer Volumenberechnung stehen. Und so verliert die Keplersche Faßregel ihren ursprünglichen Hintergrund und wird zu einer Regel für beliebige Funktionen. Um die Formel zu motivieren, gibt es zwei grundsätzliche Herangehensweisen. Man kann sie als Mittelwert zwischen einem Sehnen-Trapez und einem Tangententrapez des Graphen von $\begin{align} g \end{align}$ ansehen, wobei das Tangententrapez mit doppelter Gewichtung eingeht. Alternativ kommt man zur Formel auch, wenn man den Graphen von $\begin{align} g \end{align}$ durch eine Parabel ersetzt, die am linken und rechten Rand des Intervalls sowie in der Mitte des Intervalls in ihren Punkten mit denen des Graphen von $\begin{align} g \end{align}$ übereinstimmt.
02.09.2017, 20:46	leenaz	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen, vielen Dank für die schnelle Antwort, das hat mir wirklich weitergeholfen! Jedoch habe ich noch eine Frage, also kann ich mit der Formel beides: Volumen und Flächeninhalt ausrechnen? Ich verstehe nur nicht wie man das unterscheidet, wenn es nur eine Formel gibt. Trotzdem super erklärt, Dankeschön!

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