Total Dif, Div und Rot

02.09.2017, 12:33

Mesut95

Total Dif, Div und Rot

Meine Frage:
Moin,

Folgende Aufgabe (bitte Bild anschauen).

Meine Ideen:
zu a) Wie soll ich hier die Jacobi Matrix berechnen ? ..
steht das "x" für Skalarprodukt ?

Danke für die Antworten

02.09.2017, 13:12

Mesut95

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RE: Total Dif, Div und Rot
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} w_2*x_3- w_3*x_2 \\ w_3*x_1-w_1*x_3 \\ w_1*x_2-w_2*x_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun das Totale Differential :

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx_1} \begin{pmatrix} w_2*x_3- w_3*x_2 \\ w_3*x_1-w_1*x_3 \\ w_1*x_2-w_2*x_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 0 \\ w_1 \\ -w_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx_2} \begin{pmatrix} w_2*x_3- w_3*x_2 \\ w_3*x_1-w_1*x_3 \\ w_1*x_2-w_2*x_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -w_3 \\ 0 \\ w_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx_3} \begin{pmatrix} w_2*x_3- w_3*x_2 \\ w_3*x_1-w_1*x_3 \\ w_1*x_2-w_2*x_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} w_2 \\ -w_1 \\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also folgt daraus :

$\begin{eqnarray*} jf(x_1,x_2.x_3) = \begin{pmatrix} 0 & -w_3 & w_2 \\ w_1 & 0 & -w_1 \\ -w_2 & w_2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und das Totale Differential wäre :

$\begin{eqnarray*} jf(x_1,x_2.x_3) \begin{pmatrix} dx_1 \\ dx_2 \\ dx_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stimmt das ?

02.09.2017, 17:24

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RE: Total Dif, Div und Rot

Zitat:

Original von Mesut95

$\begin{eqnarray*} jf(x_1,x_2.x_3) = \begin{pmatrix} 0 & -w_3 & w_2 \\ w_1 & 0 & -w_1 \\ -w_2 & w_2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das scheint mir an 2 Stellen anders

$\begin{eqnarray*} jf(x_1,x_2.x_3) = \begin{pmatrix} 0 & -w_3 & w_2 \\ w_3 & 0 & -w_1 \\ -w_2 & w_1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

02.09.2017, 17:48

Mesut95

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RE: Total Dif, Div und Rot
oh ja vielen Dank ! smile

das ist mir nicht aufgefallen ..

ist dann insgesamt das Totale Differential richtig ?
Also :

$\begin{eqnarray*} jf(x_1,x_2.x_3) = \begin{pmatrix} 0 & -w_3 & w_2 \\ w_3 & 0 & -w_1 \\ -w_2 & w_1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx_1 \\ dx_2 \\ dx_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

02.09.2017, 17:59

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Ja das müsste hinkommen

02.09.2017, 18:18

Mesut95

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Ok danke xb smile

Für die Divergenz habe ich :

Total Dif, Div und Rot

= $\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} w_2*x_3- w_3*x_2 \\ w_3*x_1-w_1*x_3 \\ w_1*x_2-w_2*x_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also divF=0 verwirrt

haha Stimmt das Big Laugh

ich habe die Formel benutzt ;

$\begin{eqnarray*} div \vec{F} = \left(\frac{d}{dx_1},...,\frac{d}{dx_n} \right) \cdot \left( F^1,..,F^n \right) \end{eqnarray*}$

02.09.2017, 18:30

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Du meinst wahrscheinlich

$\begin{eqnarray*} div \vec{K} = 0 \end{eqnarray*}$

Ja das stimmt und soweit ich weiß ist

$\begin{eqnarray*} div (rot\vec{A})\equiv 0 \end{eqnarray*}$

immer Null. Bin aber nicht ganz sicher

02.09.2017, 18:34

Mesut95

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Eine Frage heißt das das von einem Kreuzprodukt die Divergenz und Rotation immer 0 ist ?

02.09.2017, 18:54

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Zitat:

Original von Mesut95
Eine Frage heißt das das von einem Kreuzprodukt die Divergenz und Rotation immer 0 ist ?

Nee

Ich habe das etwas durcheinander gebracht
Es ist hier ja ein Kreuzprodukt und keine Rotation

Eine Rotation ist zwar auch ein Kreuzprodukt,aber das ist K nicht

02.09.2017, 19:32

Mesut95

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ich bin etwas verwirrt sorry !
Also die Divergenz ist 0.
Die Rotation ist von
$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} w_2*x_3- w_3*x_2 \\ w_3*x_1-w_1*x_3 \\ w_1*x_2-w_2*x_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also ist die Rotation = Divergenz =0

und was beudetet das hat das irgendwas zu bedeuten ?

Kreuzprodukt = ? Rot=Div= 0

02.09.2017, 19:52

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Zitat:

Original von Mesut95
ich bin etwas verwirrt sorry !
Also die Divergenz ist 0.

Ja
$\begin{eqnarray*} div(\vec{A} \times\vec{B}) \end{eqnarray*}$
Das haben wir in der Aufgabe
das ist nicht immer Null

$\begin{eqnarray*} div(\vec{\nabla} \times\vec{B}) \end{eqnarray*}$
das ist aber immer Null (glaube ich)

Zitat:

Original von Mesut95
Also ist die Rotation = Divergenz =0

Die Rotation ist hier nicht Null

02.09.2017, 20:04

Mesut95

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sicher ?

Formel : $\begin{eqnarray*} rot \vec{F}=\begin{pmatrix} \frac{dF_z}{dy}- \frac{dF_y}{dz} \\ \frac{dF_x}{dz}- \frac{dF_z}{dx} \\ <br /> \frac{dF_y}{dx}- \frac{dF_x}{dy} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aus dieser Formel folgt das die Rotation 0 sein muss verwirrt

02.09.2017, 20:20

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Komisch.Ich habe

$\begin{eqnarray*} rot \,\vec{K}=2\begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

02.09.2017, 20:30

Mesut95

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uii

DU hast natürlich Recht smile

Ich habe die eine Minus übersehen bzw Ignoriert.

in der Übung steht was lässt sich erkennen..
?

02.09.2017, 20:56

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Zitat:

Original von Mesut95
in der Übung steht was lässt sich erkennen..
?

Die Rotation ist ortsunabhängig oder so ähnlich

03.09.2017, 08:43

Huggy

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Zitat:

Original von Mesut95
in der Übung steht was lässt sich erkennen..?

Wenn man ein Vektorfeld als die lokale Geschwindigkeit einer strömenden Flüssigkeit interpretiert, so beschreibt das gegebene Vektorfeld eine Flüssigkeit, die mit der Winkelgeschwindigkeit $\begin{eqnarray*} |\vec\omega | \end{eqnarray*}$ um die durch den Ursprung gehende Achse $\begin{eqnarray*} \vec \omega \end{eqnarray*}$ rotiert. Die Rotation dieses Vektofeldes ergibt also gerade das doppelte der Winkelgeschwindigkeit (als Vektor), mit der ein in der Flüssigkeit mitschimmendes Teilchen rotieren würde. Daher rührt der Name Rotation für diesen Differentialoperator.

03.09.2017, 10:08

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Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von Mesut95
in der Übung steht was lässt sich erkennen..?

Das scheint mir interessant

In dem Bild sieht man das Geschwindigkeitsfeld der Aufgabe

Dann sieht man noch zwei Objekte,die sich in dem Feld drehen

Ist es dann so,dass diese sich doppelt so schnell drehen wie das Feld?

Was man bei dem orangenen Objekt im Zentrum nicht richtig glauben kann

03.09.2017, 10:39

Huggy

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Zitat:

Original von xb
Ist es dann so,dass diese sich doppelt so schnell drehen wie das Feld?

Nein, umgekehrt. Ein mifließendes Teilchen rotiert so schnell wie die Flüssigkeit, also so schnell wie das Feld bei dieser Interpretation. Die mathematische Rotation $\begin{eqnarray*} Rot \vec f = \vec \nabla \times \vec f \end{eqnarray*}$ des Vektorfeldes ist genau doppelt so groß wie die reale Rotation.

Das hat mal ein Prof. während meines Studiums so erläutert. Man findet diese Erklärung zur Herkunft des Namens auch in der Wikipedia.

03.09.2017, 11:35

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Dann gilt für ein Teilchen im Geschwindigkeitsfeld

$\begin{eqnarray*} \vec{\omega}_{Teilchen}=\frac{1}{2} (\vec{\nabla}\times \vec{v} ) \end{eqnarray*}$

Die Frage ist nun,wie man den Drehwinkel berechnet,wenn omega ortsabhängig ist

Wahrscheilich so
$\begin{eqnarray*} \vec{\varphi }=\int_{}^{} \! \vec{\omega } \cdot dt \end{eqnarray*}$

wobei der Weg des Teilchens durch das Geschwindigkeitsfeld bestimmt wird

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