Komplexes Integral

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LisaT Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexes Integral
Zu berechnen ist .

Meine erste Idee war, in einen reellen und einen komplexen Teil aufzuteilen. Ist das möglich, wenn im Nenner steht?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp: Der Integrand ist eine ungerade Funktion, d.h., . Bei Integrationsintervallen symmetrisch um den Nullpunkt ist das ziemlich vorteilhaft. Augenzwinkern
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Kontrolle:
https://www.integralrechner.de/
LisaT Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar,
Danke!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Bei Integrationsintervallen, die nicht diese Struktur aufweisen, führt der "normale" Weg über Partialbruchzerlegung (PBZ) und dann Integration zum Ziel - und obwohl hier die Nullstellenstruktur des Nenners noch ziemlich einfach ist, so ist doch allein die PBZ hier mit schon ganz ordentlichem Aufwand verbunden. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das einmal durchzurechnen, hat mich gereizt. Erst einmal sei



Zunächst substituiere ich . Die Integrationsstrecke wird dabei nicht nur mit gestreckt, sondern auch um im Uhrzeigersinn gedreht. Zu integrieren ist daher über die Strecke von bis . So ist das im Folgenden zu verstehen.



Die Nullstellen des Nenners sind die dritten Einheitswurzeln. Zur Abkürzung setze ich



Dafür gilt speziell



Die Nullstellen des Nenners beim Integranden sind nun . Es existieren daher komplexe Konstanten mit



Multipliziert man diese Gleichung mit durch und läßt streben, so folgt:



Analog berechnet man:





Somit hat man die folgende Partialbruchzerlegung:



Für die einzelnen Summanden lassen sich über dem Integrationsweg Stammfunktionen durch Zweige des komplexen natürlichen Logarithmus angeben. Für die ersten beiden Summanden darf man den Hauptzweig des Logarithmus nehmen mit dem Argument zwischen und , ich bezeichne ihn mit . Für den dritten Summanden darf man den Zweig mit dem Argument zwischen und nehmen, ich bezeichne ihn mit . Somit folgt:







Wenn man will, kann man das noch in Real- und Imaginärteil zerlegen. Hier die Einzelstücke ( = reeller natürlicher Logarithmus):





 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Für die einzelnen Summanden lassen sich über dem Integrationsweg Stammfunktionen durch Zweige des komplexen natürlichen Logarithmus angeben. Für die ersten beiden Summanden darf man den Hauptzweig des Logarithmus nehmen mit dem Argument zwischen und , ich bezeichne ihn mit . Für den dritten Summanden darf man den Zweig mit dem Argument zwischen und nehmen, ich bezeichne ihn mit .

Genau das ist wohl die Herausforderung bzw. auch eine potentielle Hauptfehlerquelle beim Rechnen hier:

Leichtfertig einfach nur mit Hauptwert (mit welchem auch immer) in der Stammfunktion operieren ohne sich dessen gewahr zu sein, dass der Integrationsweg womöglich die "Bruchkante" kreuzt. Augenzwinkern


Falls man das hier

Zitat:
Original von Leopold
Für den dritten Summanden darf man den Zweig mit dem Argument zwischen und nehmen, ich bezeichne ihn mit .

als "inklusive und exklusive 0" versteht, so gilt der Zusammenhang zum Hauptzweig.
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