Asymptoten in der Cantor-Menge

03.09.2017, 20:06

lonzo

Asymptoten in der Cantor-Menge

Meine Frage:
Kennt jemand eine Funktion mit überabzählbar vielen Asymptoten?

Meine Ideen:
Meine Idee war, in jedes "weggewischte" Intervall der Cantor-Menge einen Tangens einzubauen. Dies hat sich aber dann als falsch erwiesen, da die Endpunkte der Menge durch x/3^k geschrieben werden können und darum, weil rational, abzählbar sind.

Ein weiterer Ansatz ist folgender: Der Cantor-Staub besteht bekanntlich aus allen Punkten, die sich in der Ternärschreibweise ohne die 1 schreiben lassen. Wäre es also möglich, in jeden Punkt/jedes Intervall, welches eine 1 enthält, einen Tangens einzubauen oder ist dies analog zum oberen Vorschlag?

Vielleicht kennt jemand sonst noch eine Lösung und kann mir weiterhelfen!

04.09.2017, 10:13

HAL 9000

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Hier stellt sich zunächst die Frage: Was genau verstehst du unter einer Asymptote? Nicht als vage Beschreibung, sondern in Form einer strengen sauberen Definition.

Ansonsten wird das hier wieder so ein Eiertanz, wo jeder mit seinen individuellen Vorstellungen einer Asymptote anrückt. Gerade dein Ansinnen mit überabzählbar vielen Asymptoten macht deutlich, dass man hier mit rein anschaulichen Vorstellungen, was eine Asympote zu leisten hat, wohl nicht weit kommen wird.

04.09.2017, 17:06

lonzo

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Unter einer Asymptote verstehe ich einen Graph (in diesem Fall eine Gerade), der sich dem Graphen einer Funktion beliebig weit annähert. In meinem Fall würde dies heissen, dass sich (optimalerweise) jeder Punkt beliebig nahe an eine Gerade annähert

04.09.2017, 17:13

HAL 9000

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Sieht so aus, als hast du mich nicht verstanden: Mit diesem "ein Graph, der sich dem Graphen einer Funktion annähert" hast du genau die Art verwaschene Erklärung gegeben, die ich nicht hören wollte.

04.09.2017, 17:45

IfindU

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Ich denke das sinnvollste was man bauen könnte, wäre die inverse Thomaesche Funktion. Also $\begin{eqnarray*} f : (0,\infty) \to [0,\infty] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} q & \text{ falls } x = \frac p q \text{ mit } p,q \in \mathbb N, \mathrm{ggT}(p,q) = 1, \\ + \infty & \text{ sonst.}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Dabei denke ich an sowas wie: Eine Asymptote waere ein Punkt mit $\begin{eqnarray*} f(x) = +\infty \end{eqnarray*}$ und es gibt eine Folge $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_k \to x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_k) \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_k) \to f(x) \end{eqnarray*}$ .

Sobald man mehr fordert, z.B. eine offene Umgebung um ein solches $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , ist man sofort auf Abzählbarviele reduziert.

04.09.2017, 18:16

HAL 9000

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Dein $\begin{align*} f \end{align*}$ ist aber gar keine reelle Funktion. verwirrt

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Nochmal zum Thema Definition der Asymptote. Ich könnte mir da z.B. sowas in der Art vorstellen:

Zitat:

Eine Gerade $\begin{align*} a \end{align*}$ in der Ebene bezeichnet man als Asympote der Funktion $\begin{align*} f:\;D\to \mathbb{R} \end{align*}$ , wenn folgendes erfüllt ist:

Zu jedem $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ gibt es ein $\begin{align*} r>0 \end{align*}$ , so dass es für alle Punkte $\begin{align*} x\in a \end{align*}$ mit $\begin{align*} \|x\| > r \end{align*}$ ein $\begin{align*} y\in G \end{align*}$ mit $\begin{align*} \|x-y\|<\varepsilon \end{align*}$ gibt. Dabei sei $\begin{align*} G \end{align*}$ der Graph der Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ , d.h., definiert als $\begin{align*} G := \left\{ (t,f(t)) \bigm| t\in D \right\} \end{align*}$ .

Ist vielleicht etwas "zuviel" gefordert, nach der Definition wäre z.B. $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ keine Asymptote zu $\begin{align*} f(x)=\frac{1}{x^2} \end{align*}$ , weil nicht die gesamte Gerade, sondern nur der Teilstrahl $\begin{align*} (0,y) \end{align*}$ mit positiven $\begin{align*} y \end{align*}$ den Bedingungen genügt. Ist auch nur eine Diskussionsgrundlage und daher sicher anzupassen - vielleicht indem man auch Strahlen statt Geraden als Asymptoten zulässt. Augenzwinkern

04.09.2017, 18:42

IfindU

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Reellwertig war auch nie gefordert Big Laugh

Also $\begin{eqnarray*} f : (0,\infty) \to [0,\infty) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} q & \text{ falls } x = \frac p q \text{ mit } p,q \in \mathbb N, \mathrm{ggT}(p,q) = 1, \\ 0 & \text{ sonst.}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f: D \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dann besitzt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ eine positive asymptotische Singularitaet, falls:
Es gibt eine Folge $\begin{eqnarray*} z_k \in D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z_k \to z_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(z_k) \to \infty \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat eine negative as. Singularitaet in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} -f \end{eqnarray*}$ eine as. Singularitaet in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ besitzt. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ besitzt eine as. Singularitaet, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine postive oder negative as. Singularitaet in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ besitzt.

Ich bin recht sicher, deine Asymptote gibt es genau dann, wenn bei mir eine positive UND negative asymptotische Singularitaet vorliegt.

Edit: Definition verbessert.

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