e-Funktion und ln einer DGL - Auflösen eines Ausdrucks

03.09.2017, 20:41

Felixxxxxx

e-Funktion und ln einer DGL - Auflösen eines Ausdrucks

Meine Frage:
Hallo zusammen,
es gibt eine DGL Aufgabe, die wie folgt lautet: Bestimmen Sie die Parameter
$\begin{eqnarray*} \alpha, \beta \in R \end{eqnarray*}$ ,
so dass die Funktion y:
$\begin{eqnarray*} (-\beta, \infty) -> R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(t)=\alpha*ln(t+\beta) \end{eqnarray*}$
eine Lösung des Anfangswertproblems
$\begin{eqnarray*} y'(t)=e^(t-y(t)-e^y(t)), y(1)=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Jetzt habe ich folgendes gemacht:
1. Selbst die Ableitung von y bestimmt:
$\begin{eqnarray*} y'(t)=\frac{\alpha}{(t+\beta)} \end{eqnarray*}$

2. Gleichung erstellen und einsetzen:
$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{(t+\beta)}=y'(t)=e^(t-y(t)-e^y(t))=e^(t-(\alpha*ln(t+\beta))-e^(\alpha*ln(t+\beta))) \end{eqnarray*}$
Jetzt kann ich die im Exponenten vorhandenen e^ln auflösen:
$\begin{eqnarray*} e^(\alpha*ln(t+\beta))=(t+\beta)^\alpha \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = e^(t-(\alpha*ln(t+\beta))-(t+\beta)^\alpha) \end{eqnarray*}$
Jetzt wende ich die Potenzgesetze an zu $\begin{eqnarray*} e^(x-y)=\frac{e^x}{e^y} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \frac{e^(t-(\alpha*ln(t+\beta))}{(t+\beta)^\alpha)}=e^(t-(\alpha*ln(t+\beta))*\frac{1}{(t+\beta)^\alpha)} \end{eqnarray*}$

Soweit, so gut. Ich hatte überlegt, wie ich das noch weiter zusammenfassen kann. Ich habe dann mal in die Musterlösung geschaut, die noch einen weiteren Schritt macht, den ich nicht nachvollziehen kann:

$\begin{eqnarray*} e^(t-(\alpha*ln(t+\beta))*\frac{1}{(t+\beta)^\alpha)}=e^(t-(t+\beta)^\alpha)*\frac{1}{(t+\beta)^\alpha)} \end{eqnarray*}$

Jetzt wurde zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} e^(t-(\alpha*ln(t+\beta))=e^(t-(t+\beta)^\alpha) \end{eqnarray*}$
Wie? Einfach xln(y)=y^x? Ich stehe gerade voll auf dem Schlauch.
Das dies hier geht ist mir klar, aber ich kann doch nicht einfach so ein ln auflösen, ohne auch die e-Funktion aufzulösen.

Welches REchengesetz übersehe ich? DAnke für jede Hilfe!

03.09.2017, 22:05

10001000Nick1

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Ein Term, der im Exponenten stehen soll, muss in geschweiften Klammern stehen, nicht in runden.

Die DGL sieht z.B. so aus:

code:
1:	y'(t)=e^{ t-y(t)-e^{y(t)} }

$\begin{eqnarray*} y'(t)=e^{ t-y(t)-e^{y(t)} } \end{eqnarray*}$
Anscheinend sind auch ein paar Klammern durcheinander gekommen, weswegen nicht immer klar ist, was bei dir im Exponenten stehen soll, und was nicht. Augenzwinkern

Es ist $\begin{eqnarray*} e^{y(t)}=(t+\beta)^\alpha \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} e^{t-y(t)-e^{y(t)}}=\frac{e^{t-e^{y(t)}}}{e^{y(t)}} =\frac{e^{t-(t+\beta)^\alpha}}{(t+\beta)^\alpha} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} x\cdot \ln(y)=y^x \end{eqnarray*}$ stimmt natürlich nicht.

03.09.2017, 23:26

Felixxxxxx

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Ein Term, der im Exponenten stehen soll, muss in geschweiften Klammern stehen, nicht in runden.

Ah super, ich dachte schon, die Klammern sehen aber komisch aus. Danke!

Die DGL sieht z.B. so aus:

code:
1:	y'(t)=e^{ t-y(t)-e^{y(t)} }

Es ist $\begin{eqnarray*} e^{y(t)}=(t+\beta)^\alpha \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} e^{t-y(t)-e^{y(t)}}=\frac{e^{t-e^{y(t)}}}{e^{y(t)}} =\frac{e^{t-(t+\beta)^\alpha}}{(t+\beta)^\alpha} \end{eqnarray*}$ .
[/quote]

Ach man, warum habe ich das nicht gesehen. Manchmal sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht.

$\begin{eqnarray*} e^{t-\alpha*ln(t+\beta)-e^{\alpha*ln(t+\beta)}}=\frac{e^{t-e^{\alpha*ln(t+\beta)}}}{e^{\alpha*ln(t+\beta)}}=\frac{e^{t-(t+\beta)^\alpha}}{e^{\alpha*ln(t+\beta)}}=\frac{e^{t-(t+\beta)^\alpha}}{(t+\beta)^\alpha}=e^{t-(t+\beta)^\alpha}*\frac{1}{(t+\beta)^\alpha} \end{eqnarray*}$

Was ich nicht wusste war, wie gehe ich mit dem $\begin{eqnarray*} e^{a-b-c} \end{eqnarray*}$ genau um. Ich weiß, dass:
$\begin{eqnarray*} e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b} \end{eqnarray*}$
Das ich jetzt einfach bei $\begin{eqnarray*} e^{a-b-c} \end{eqnarray*}$ mir beliebig heraussuchen kann, welchen der 2 rechten Terme im Exponenten ich in den Nenner ziehen kann, wusste ich nicht.

Gilt das dann wie folgt?
$\begin{eqnarray*} e^{a-b-c}=\frac{e^{a-c}}{e^b}=\frac{e^{a-b}}{e^{c}} \end{eqnarray*}$

Danke noch einmal für die Antwort und viele Grüße
Felix

04.09.2017, 00:33

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Felixxxxxx
Gilt das dann wie folgt?
$\begin{eqnarray*} e^{a-b-c}=\frac{e^{a-c}}{e^b}=\frac{e^{a-b}}{e^{c}} \end{eqnarray*}$

Ja; du kannst ja im Exponenten beliebig umsortieren, also $\begin{eqnarray*} e^{a-b-c}=e^{(a-b)-c}=e^{(a-c)-b} \end{eqnarray*}$ . Oder auch $\begin{eqnarray*} e^{a-b-c}=e^{a-(b+c)}=\frac{e^a}{e^{b+c}} \end{eqnarray*}$ . smile

05.09.2017, 00:22

Felixxxxxx

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Ja; du kannst ja im Exponenten beliebig umsortieren, also $\begin{eqnarray*} e^{a-b-c}=e^{(a-b)-c}=e^{(a-c)-b} \end{eqnarray*}$ . Oder auch $\begin{eqnarray*} e^{a-b-c}=e^{a-(b+c)}=\frac{e^a}{e^{b+c}} \end{eqnarray*}$ . smile

Super, vielen Dank smile

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