Grenzwertberechnung einer potenzierten e-Funktion

04.09.2017, 12:05	MXRXO	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertberechnung einer potenzierten e-Funktion Meine Frage: Hallo zusammen, ist meine erste Frage hier im Forum, also seid bitte nicht zu streng mit mir, wenn Ich etwas unverständlich darstelle. Aufgabenstellung ist die folgende: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} (e^{x}+x)^{1/x} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Bisher bin Ich so vorgegangen: $\begin{eqnarray} = \lim_{x \to 0} (e+x^{1/x}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \lim_{x \to 0} e + \lim_{x \to 0} x^{1/x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \lim_{x \to 0} (e+x^{1/x}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = e + 0^{\infty} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = e \end{eqnarray}$ Ergebnis laut Lösungsblatt ist aber $\begin{eqnarray} = e^2 \end{eqnarray}$ __________________________________________________________ Nachdem dieser Versuch gescheitert ist, habe Ich folgenden Ansatz in der Lösung gefunden: [attach]45221[/attach] Also nochmal neu starten! $\begin{eqnarray} = \lim_{x \to 0} (e^{x}+e^{ln(x)})^{1/x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \lim_{x \to 0} (e+e^{\frac{ln(x)}{x} }) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = e + \lim_{x \to 0} (e^{\frac{ln(x)}{x} }) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = e + e^{\lim_{x \to 0} ({\frac{ln(x)}{x} })} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = e + e^{-\infty } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = e + 0 = e \end{eqnarray}$ Mist, wieder das selbe Ergebnis. Da es in der Übung um l'Hospital geht, habe Ich nach Möglichkeiten gesucht, diesen anzuwenden. Leider erfolglos, da Ich nirgends eine Form von 0/0 oder unendlich/unendlich gefunden habe. Ich hoffe, dass es hier jemanden gibt, der bereit ist mir den richtigen Lösungsweg zu erläutern. Danke im voraus, für jeden der sich die Mühe macht und sich meinen Post durchliest!
04.09.2017, 12:26	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung einer potenzierten e-Funktion Der Fehler ist die Pseudoregel $\begin{eqnarray} ( a + b)^n = a^n + b^n \end{eqnarray}$ . Die gilt NUR fuer $\begin{eqnarray} n = 1 \end{eqnarray}$ und fuer gewisse Trivialfälle von $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ . Der zielführende Ansatz, ist wie so häufig, die Definiton. Es ist $\begin{eqnarray} (e^x + x)^{1/x} = e^{ \frac 1 x \log ( e^x + x) } \end{eqnarray}$ . Man bemerke, dass im Exponenten nun eine Situation vorliegt, bei der man L'Hospital benutzen kann. Edit: Ein anderer Ansatz waere zu sehen, dass $\begin{eqnarray} e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2} {2} + \ldots \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e^x + x = 1 + 2x + \frac{x^2} {2} + \ldots \end{eqnarray}$ . Wenn man nun glaubt, dass nur die ersten Terme relevant sind, dann $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0} ( e^x + x)^{1/x} = \lim_{x\to 0} ( 1 + 2x )^{1/x} =\lim_{x\to 0} ( e^{2x} )^{1/x} = e^2 \end{eqnarray}$ . Dass nur die ersten Terme relevant sind, ist nicht so einfach zu sehen. Aber es gibt einem hoffentlich etwas mehr Einblick woher der Grenzwert kommt.
04.09.2017, 20:02	MXRXO	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung einer potenzierten e-Funktion Vielen Dank für deine Antwort! Würdest du mir eventuell die Umformung im ersten Ansatz erklären/ mich auf die angewandten Regeln verweisen?
04.09.2017, 21:02	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung einer potenzierten e-Funktion Es ist genau die Regel in dem Bild von dir. Du musst nur rausfinden was a und was b ist.
04.09.2017, 21:58	MXRXO	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertberechnung einer potenzierten e-Funktion Endlich hab Ich es verstanden. Danke vielmals für die Hilfe!!!

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