Kurvenintegral 2. Art

04.09.2017, 12:15	XNeider	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenintegral 2. Art Meine Frage: Ich wurde mit folgender Aufgabe betreut : gegeben : $\begin{eqnarray} v(x)= \begin{pmatrix} x_3^2 \\ 3x_2^2\\ 2x_1x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ich soll das Kurvenintegral 2. Art bestimmen, dabei die Kurve frei wählen solange sie den Anfangspunkt $\begin{eqnarray} x_a = (0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_e = (1,1,1)^T \end{eqnarray}$ verbindet. Dazu soll ich begründen, ob sich mein Rechnenergebnis verändert, wenn ich die Kurve verändere. Meine Ideen: Ich habe als Kurve $\begin{eqnarray} \gamma = \begin{pmatrix} t \\ t \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gewählt. und komme auf folgendes Ergebnis : $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! 6t^2 \, dt = 6 (1/3) t^3 = 2 \end{eqnarray*}$ Wie begründe ich aber, dass sich das Ergbenis nicht verändert, wenn sich die Kurve verändert ? LaTeX korrigiert. Steffen
04.09.2017, 13:28	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil für das Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} rot(\vec v)=0 \end{eqnarray}$ , existiert eine (skalare) Potentialfunktion $\begin{eqnarray} \phi(x,y,z)=xz^2+y^3 \end{eqnarray}$ , deren Gradient das Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ ist, also $\begin{eqnarray} \nabla \underbrace{(xz^2+y^3)}_{\phi}=\underbrace{\begin{pmatrix} z^2 \\ 3y^3 \\ 2xz \end{pmatrix}}_{\vec v} \end{eqnarray}$ Wenn man eine solche Potenzialfunktion angegeben kann, ist das Wegintegral unabhängig vom Wege und das Integral ergibt sich als Differenz der Funktionswerte der Potentialfunktion am Endpunkt bzw. Anfangspunkt, also $\begin{eqnarray} \int_{\vec x_1}^{\vec x_2} \vec v(\vec x) \,\, d \vec x =\phi (\vec x_2)-\phi(\vec x_1) \end{eqnarray}$ Beispiel: Wenn man eine Kugelschreiber, der vom Tisch gefallen ist aufhebt, muss man Arbeit gegen die Erdanziehungskraft verrichten. Diese Arbeit berechnet man mit einem Kurvenintegral 2.Art. Die Erdanziehungskraft entspricht deinem Vektorefeld $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ . Die zugehörige Potentialfunktion ist die potentielle Energie des Kugelschreibers. Die verrichte Abreit hängt nicht von der speziellen Kurve ab, sondern nur vom Anfangspunkt (=Fußboden) und dem Endpunkt (=Tisch), also in diesem Falle vom Höhenunterschied.
05.09.2017, 09:47	Xneider	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schön !

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