Rekursion Integral

04.09.2017, 20:52

Paulaq

Rekursion Integral

Meine Frage:
Hallo ich habe ein Problem beim Verständigen einer Aufgabe.
Ich soll eine Rekrusion angeben zur Berechnung von

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{1}{(1+x^2)^n} \, dx \end{eqnarray*}$

Angeben.

Meine Ideen:
Wir hatten noch nie in den Übungen so eine Aufgabe ?!
Die Aufgabe ist von einer Probeklausur!
Ich kann mir darunter nur vorstellen die Stammfunktion zu berechnen mehr nicht

04.09.2017, 21:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von Paulaq
Ich kann mir darunter nur vorstellen die Stammfunktion zu berechnen mehr nicht

Ja klar, aber das eben für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Sieh u.a. hier .

04.09.2017, 21:24

Paulaq

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Wie ist denn der Ansatz bei so Aufgaben

04.09.2017, 22:33

HAL 9000

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Da gibts kein Generalrezept. Probieren, bis was klappt - der Erfolg (wie im verlinkten Weg) gibt einem dann Recht, aber dieser Erfolg ist nicht immer planbar.

04.09.2017, 22:41

Paulaq

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Ja du hast Recht ich habe eben mit verschiedenen Methoden versucht diese Aufgabe zu lösen und die Methoden gingen schief smile

Der Prof. will uns wohl ärgern warum macht man nur sowas in eine Klausur unglücklich

05.09.2017, 00:36

Paulaq

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Ich verstehe gar nicht wie man zu

$\begin{eqnarray*} F_n(x) &=& \int ~ \frac{1}{(x^2+1)^n} ~ \dd x = \int ~ \frac{(x^2+1)-x^2}{(x^2+1)^n} ~ \dd x = F_{n-1}(x) - \int ~ x \cdot \frac{x}{(x^2+1)^n} ~ \dd x\\ &=& F_{n-1}(x) + \frac{x}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}} - \frac{1}{2(n-1)} \int ~ \frac{1}{(x^2+1)^{n-1}} ~ \dd x\\ &=& \frac{2n-3}{2n-2}F_{n-1}(x) + \frac{x}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}} \end{eqnarray*}$ ,

kommt. Die schritte wurden nicht ausführlich gemacht und das verwirrt mich.

Könnten wir das mal zusammen durchgehen ?

Also sei

$\begin{eqnarray*} F_n= \int_{}^{} \! \frac{1}{(x^2+1)^n} \, dx \end{eqnarray*}$

Nun addieren wir eine "0" zum zähler also :

= $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)^n} \, dx \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! (\frac{x^2+1}{(x^2+1)^n} -\frac{x^2}{(x^2+1)^n} )\, dx \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{x^2+1}{(x^2+1)^n} \, dx - \int_{}^{} \! \frac{x^2}{(x^2+1)^n} \, dx \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{1}{(x^2+1)^{n-1}} \, dx - \int_{}^{} \! \frac{x^2}{(x^2+1)^n} \, dx \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} F_{n-1}(x) - \int_{}^{} \! x* \frac{x}{(x^2+1)^n} \, dx \end{eqnarray*}$

Nun wenden wir die Partielle Integration an :

$\begin{eqnarray*} F_{n-1}(x) - (\frac{x^3}{2(x^2+1)^n} - \int_{}^{} \! \frac{x^2}{2} * \frac{(x^2+1)^n-2x^2*n(x^2+1)^{n-1}}{(x^2+1)^(2n)} \, dx ) \end{eqnarray*}$

und ab hier bin ich raus verwirrt

05.09.2017, 09:28

HAL 9000

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Partielle Integration bedeutet hier $\begin{align*} \int u\cdot v' ~ \dd x = u\cdot v - \int u'\cdot v ~ \dd x\qquad (*) \end{align*}$ .

Im verlinkten Beitrag wird doch konkret benannt, mit welchen $\begin{align*} u,v \end{align*}$ hier operiert wird: $\begin{align*} u=x,v=\frac{1}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}} \end{align*}$

Die zugehörigen Ableitungen sind rasch berechnet: $\begin{align*} u'=1 \end{align*}$ und $\begin{align*} v'=\left[\frac{1}{2(n-1)} (x^2+1)^{-(n-1)} \right]' = \frac{1}{2(n-1)} (-(n-1)) (x^2+1)^{-n}\cdot 2x = -\frac{x}{(x^2+1)^n} \end{align*}$

Das bedeutet eingesetzt in (*):

$\begin{align*} -\int x \cdot \frac{x}{(x^2+1)^n} ~ \dd x = x\cdot \frac{1}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}} - \int 1\cdot \frac{1}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}} ~ \dd x = \frac{x}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}} - \frac{1}{2(n-1)} \int \frac{1}{(x^2+1)^{n-1}} ~ \dd x \end{align*}$ .

Ableitungen berechnen, einsetzen, und nur ganz geringfügiges Ausklammern konstanter Faktoren aus den Integralen - keine Hexerei. Augenzwinkern

05.09.2017, 12:00

Paulaq

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Danke ich habe es jetzt verstanden. Augenzwinkern

Ich bin jedoch bei einer Sache nicht der selben Meinung wie du.

Du berechnest die Ableitung von v. Ich bin aber der Meinung das man in der Aufgabe nicht die Ableitung von v berechnen würde denn v kennt man "normalerweise" nicht. Wenn ich in der Klausur wäre würde ich die Stammfunktion von v' rechnen.

vielen dank für deine Hilfe. Freude

mit freundlichen Grüßen

Paulaq

05.09.2017, 12:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Paulaq
Du berechnest die Ableitung von v. Ich bin aber der Meinung das man in der Aufgabe nicht die Ableitung von v berechnen würde denn v kennt man "normalerweise" nicht. Wenn ich in der Klausur wäre würde ich die Stammfunktion von v' rechnen.

Also kein mathematischer Einspruch, sondern ein "diaktischer"? Die obige Herleitung soll einfach stimmen, nicht auf solche Befindlichkeiten Rücksicht nehmen. Augenzwinkern

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