Konvergenzradius

05.09.2017, 20:41	Tessa2	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius Meine Frage: Hallo ans Forum Gegeben ist eine Reihe Gesucht ist der Konvergenzradius $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix}x^n \end{eqnarray}$ Man kann schnell berechnen,dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r\leq \| \frac{1}{4}\| \end{eqnarray}$ Die Frage ist,ob 1/4 noch dazugehört oder nicht Bin für Hinweise dankbar Meine Ideen: Ich glaube,dass der Wert nicht dazugehört Kann es aber nicht beweisen
05.09.2017, 21:47	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius Guten Abend, Ich hoffe das klärt deine Frage : Ist $\begin{eqnarray} R \in (0,+\infty ) \end{eqnarray}$ so ist die Potenzreihe für alle $\begin{eqnarray} z \in C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|z-z_0 \| < R \end{eqnarray}$ absolut Konvergent. Das heißt in deinem fall : \|x\| < 1/4
05.09.2017, 22:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@Tessa2 Die genannte Potenzreihe divergiert für $\begin{align} x=\frac{1}{4} \end{align}$ , konvergiert aber für $\begin{align} x=-\frac{1}{4} \end{align}$ : Ersteres kann aus der Abschätzung $\begin{align} a_n \geq \frac{1}{2\sqrt{n}} \end{align}$ für $\begin{align} a_n:=\binom{2n}{n}\frac{1}{4^n} \end{align}$ und $\begin{align} n\geq 1 \end{align}$ gefolgert werden, letzteres daraus, dass dieses $\begin{align} (a_n) \end{align}$ eine monoton fallende Nullfolge ist (Leibniz). Was den Reihenwert betrifft: Der ist gleich $\begin{align} \frac{1}{\sqrt{1-4x}} \end{align}$ für alle $\begin{align} x \end{align}$ mit $\begin{align} -\frac{1}{4}\leq x< \frac{1}{4} \end{align}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »