Diffeomorphismus - Seite 2

08.09.2017, 14:14

mesut95

$\begin{eqnarray*} y_1^2-x_2*y_2*y_1+x_2^2*y_2^2 \end{eqnarray*}$

PQ Formel:

= $\begin{eqnarray*} \frac{x_2*y_2}{2} +-\sqrt{\frac{x_2^2*y_2^2}{4}-x_2^2y_2^2 } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{x_2*y_2}{2} +-\sqrt{\frac{x_2^2*y_2^2-4x_2^2y_2^2 }{4}} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{x_2*y_2}{2} +-\frac{\sqrt{x_2^2*y_2^2-4x_2^2y_2^2} }{2} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{x_2*y_2}{2} +-\frac{\sqrt{ -3x_2^2y_2^2} }{2} \end{eqnarray*}$

komischerweise kommt bei mir das raus und nicht y_2

08.09.2017, 15:42

IfindU

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Zitat:

Original von Mesut95
Eingesetzt in die 2.gleichung kommt:

(x2*y2-y1) *y1= x2*y2

Hmm und jetzt ?

Da habe ich nicht genau drauf geachtet Es muss
$\begin{eqnarray*} ( x_2 + y_2 -y_1) y_1 = x_2 y_2 \end{eqnarray*}$ heissen.

08.09.2017, 16:10

Mesut95

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Irgendwie ist das voll komisch gibt es keine leichtere Variante?
Ich habe jetzt

X_2*y_1 + y_2*y_1 -y_1^2= x_2*y_2

Und irgendwie sehe ich nichts was sich rauskürzt oder wo man die PQ Formel anwenden kann -.-

08.09.2017, 16:22

IfindU

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Umgestellt ist das $\begin{eqnarray*} y_1^2 - y_1( x_2 + y_2) + x_2 y_2 = 0 \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} p = -x_2 - y_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q = x_2 y_2 \end{eqnarray*}$ ergibt die pq-Formel $\begin{eqnarray*} z_{1,2} = - \frac p 2 \pm \sqrt { \frac {p^2} 4 - q } \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} z_{1,2} = \frac { x_2 + y_2} 2 \pm \sqrt { \frac { (x_2 + y_2)^2} 4 - x_2 y_2 } =\frac { x_2 + y_2} 2 \pm \sqrt { \frac { (x_2^2 + 2x_2y_2 + y_2^2) -4x_2 y_2}4 } \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} (x_2^2 + 2x_2y_2 + y_2^2) -4x_2 y_2 = x_2^2 - 2x_2y_2 + y_2^2 = (x_2 - y_2)^2 \end{eqnarray*}$ ist also
$\begin{eqnarray*} z_{1,2} = \frac { x_2 + y_2} 2 \pm \sqrt { \frac{(x_2 - y_2)^2} 4} = \frac { x_2 + y_2} 2 \pm \frac { |x_2 - y_2|} 2 \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} y > |x| \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} |x_2 - y_2| = y_2 - x_2 \end{eqnarray*}$ und damit
Das ergibt letztendlich $\begin{eqnarray*} z_{1,2} =\frac { x_2 + y_2} 2 \pm \frac { y_2 - x_2} 2 \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} z_1 = y_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2 = x_2 \end{eqnarray*}$ . D.h. $\begin{eqnarray*} y_1 = y_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y_1 = x_2 \end{eqnarray*}$ . Letzteres ergibt einen Widersprung, da $\begin{eqnarray*} y_1x_1 = y_2 x_2 \end{eqnarray*}$ impliziert, dass $\begin{eqnarray*} x_1 = y_2 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} x_1 > y_1 \end{eqnarray*}$ .

08.09.2017, 16:43

Mesut95

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Okay ich verstehe daraus können wir x_2= x_1 folgern.

Gilt jetzt :

da wir gezeigt haben das f Injektiv ist und f Surjektiv ist folgt daraus das f bijektiv ist.
Nun wir wissen vom Aufgabenteil a) das die Jacobi Matrix in diesem Gebiet Invertierbar ist das bedeutet aber insbesondere das f in diesem Gebiet Umkehrbar ist und das die Umkehrung Stetig Differenzierbar ist. Daher ist in diesem Gebiet f Global
Diffeomorphismus und ein kleiner schritt weiter und unser
Diffeomorphismus geht kapput da dann die Injektivität verloren geht.
Stimmt das denn soweit ?

08.09.2017, 17:06

IfindU

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Wenn du mit Injektivität argumentieren willst, so musst du beweisen, dass die Injektivität verletzt wird, wenn du mehr dazu nimmst.

Einfach wäre: Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eins der vier Gebiete und sei $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ein Gebiet mit $\begin{eqnarray*} G \subsetneq F \end{eqnarray*}$ . Dann $\begin{eqnarray*} F \cap M \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ . Damit kann es auf $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ kein Diffeo sein.

08.09.2017, 17:31

Mesut95

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Tut mir leid ich meinte eigentlich das f in diesem gebiet ( das obere dreieck) Injektiv ist und Surjektiv ist daraus folgt das f in diesem Gebiet bijektiv ist.
Da wir in der a gezeigt haben das f in diesem gebiet Lokal ein Diff. Ist wissen wir noch das die Umkehrabbildung in diesem gebiet Stetig Differenzierbar sein muss.
Folgerung: da f in diesem gebiet Bijektiv ist existiert die Umkehrabbildung und diese ist Stetig Differenzierbar.
Habe ich jetzt richtig argumentiert ?
Und dieses gebiet ist ein Maximales gebiet sobald wir ein schritt weitergehen verlieren wir die Injektivität und somit wird es kein Diff. Mehr.

08.09.2017, 17:39

IfindU

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Zitat:

Original von Mesut95
Tut mir leid ich meinte eigentlich das f in diesem gebiet ( das obere dreieck) Injektiv ist und Surjektiv ist daraus folgt das f in diesem Gebiet bijektiv ist.
Da wir in der a gezeigt haben das f in diesem gebiet Lokal ein Diff. Ist wissen wir noch das die Umkehrabbildung in diesem gebiet Stetig Differenzierbar sein muss.
Folgerung: da f in diesem gebiet Bijektiv ist existiert die Umkehrabbildung und diese ist Stetig Differenzierbar.
Habe ich jetzt richtig argumentiert ?

Ja.

Zitat:

Und dieses gebiet ist ein Maximales gebiet sobald wir ein schritt weitergehen verlieren wir die Injektivität und somit wird es kein Diff. Mehr.

Was einfach eine Behauptung deinerseits ist. Eine wahre Behauptung, aber eine Behauptung ohne Begruendung.

08.09.2017, 18:05

Mesut95

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Naja sobald wir ein Schritt weiter gehen kommen wir in unsere verbotene Zone da wo die Jacobi Matrix nicht Invertierbar ist und die Funktion an dieser Stelle deshalb nicht Lokal Diff. ist und daher auch nicht Global Diffeo.

Eine Frage wie findest du die Aufgabe vom Umfang und Schwierigkeit bezüglich einer Klausur ?

08.09.2017, 20:11

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Zitat:

Original von Mesut95
ich meinte eigentlich das f in diesem gebiet ( das obere dreieck) Injektiv ist und Surjektiv ist daraus folgt das f in diesem Gebiet bijektiv ist.

Das sollte nochmal durchdacht werden.
Welches Gebiet? Es geht doch um die Abbildung
Es ist offenbar gelungen zu zeigen,dass die Abbildung injektiv ist was ja auch reicht

Aber bijektiv ist diese Abbildung nicht

08.09.2017, 20:37

Mesut95

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@xb:

Wenn du dir mal die Zeichnung dir anschaust, dann würdest du wissen über welches Gebiet ich rede.
Ich rede von dem Oberen Dreieck. Um genauer zu sein:
Ich rede von einem der 4 Kanonischen Gebieten.
Ich nenne dieses Gebiet G. Das Gebiet G ist DefIniert durch:

$\begin{eqnarray*} G:= \left\{(x,y) | y>|x|>0 \right\} \end{eqnarray*}$ .

Für dieses Gebiet haben wir gezeigt das dieses Gebiet Injektiv ist.
Ausserdem gilt das jede funktion auf ihr Bild Surjektiv ist. Das heißt insbesondere das f Bijektiv ist und das muss auch so sein !

Laut Wikipedia ist ein diffeomorphismus gegeben falls f Bijektiv ist und f Stetig Differenzierbar ist und die Umkehrabbildung Stetig Differenzierbar ist.
Das heißt also das Injektiv allein nicht ausreicht für ein diffeomorphismus.

08.09.2017, 21:10

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Zitat:

Original von Mesut95
$\begin{eqnarray*} G:= \left\{(x,y) | y>|x|>0 \right\} \end{eqnarray*}$ .
Für dieses Gebiet haben wir gezeigt das dieses Gebiet Injektiv ist.

Ein Gebiet kann nicht injektiv sein
Sondern eine Abbildung kann das.Wenn jeder Punkt aus G höchstens einen Punkt aus R^2 erreicht

08.09.2017, 21:18

Mesut95

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Na es ist doch offensichtilich das dieses Gebiet eine Teilmenge von unserer Funktion ist unglücklich

Aber sorry ich muss mich noch Präziser ausdrücken:
Die Funktion ist in dem Gebiet G Inejktiv und da jede Funktion bezüglich ihrer Bildmenge Surjektiv ist ist die Funktion im Gebiet G Bijektiv.

08.09.2017, 21:55

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Nochmal ein Überblick

Das ist doch die Ausgangssituation

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^2 \to \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$

Es wird etwas abgebildet vom Definitionsbereich R^2 in den Zielbereich R^2

Der Definitionsbereich wurde ja schon eingeschränkt (Jacobi)

Jetzt wurde gezeigt,dass diese Abbildung von G aus injektiv ist

Bijektivität bedeutet,dass von G aus jeder Punkt des Zielbereichs also R^2 erreicht wird

08.09.2017, 22:47

Mesut95

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Zitat:

Bijektivität bedeutet,dass von G aus jeder Punkt des Zielbereichs also R^2 erreicht wird

Das ist mir aber neu.
Das was du da beschreibst bedeutet wenn dann Surjektivität.

Aus Injektiv und Surjektiv folgt Bijektiv.

Zitat:

Das ist doch die Ausgangssituation $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^2 \to \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ Es wird etwas abgebildet vom Definitionsbereich R^2 in den Zielbereich R^2

Eben nicht. Wir wollen NICHT zeigen das die Funktion f im ganzen Definitionsbereich ein Diffeomorphism ist. Das kann gar nicht gehen, denn die Jacobi Matrix von der Funktion ist an den stellen |x|=|y| nicht Invertierbar, aus dieser Aussage folgt das die Funktion an diesen Stellen NICHT Lokal ein Diffeomorphism sein kann.
Im Aufgabenteil b suchen wir EIN Maximales Gebiet so dass die Funktion in diesem Gebiet Global ein Diffeomorphism ist. Nun sinnvoll wäre es die Punkte für die f nicht mal Lokal ein Diffeomorphism ist "rauszuziehen". Betrachtet man die Menge die sich daraus bildet ergeben sich 4 Kanonische Gebiete. Wählen wir nun das obere Gebiet aus.

$\begin{eqnarray*} G=\left\{ (x,y)| y>|x|>0\right\} \end{eqnarray*}$

Wir wissen das $\begin{eqnarray*} f|G : G-> f(G) \end{eqnarray*}$ ein Surjektiver Lokaler Diffeomorphism ist.
(Jede Funktion ist bezüglich seines Bildes Surjektiv! )
und da wir nun auch mit hilfe von IfindU gezeigt haben das die Funktion im Gebiet Injektiv ist haben wir schließlich gezeigt das die Funktion im Gebiet Bijektiv ist.

Die Funktion ist also ein Diffeomorphism im Gebiet $\begin{eqnarray*} G=\left\{ (x,y)| y>|x|>0\right\} \end{eqnarray*}$ . Denn :

f ist in diesem Gebiet Stetig Differenzierbar
f ist bijektiv
f^-1 ist Stetig DIfferenzierbar (Folgt aus a. bzw. aus dem Satz der Umkehrfunktion)

und ausserdem sei noch gesagt das dieses Gebiet ein Maximales Gebiet ist "gehen" wir nur einen Schritt weiter ist die Funktion nicht mehr ein Diffeomorphism denn :

Dann gilt nicht mehr $\begin{eqnarray*} y>|x|>0 \end{eqnarray*}$ und es wären Punkte zugelassen mit x=y
und diese Punkte sind nicht einmal Lokal ein Diffeomorphism.

09.09.2017, 06:34

IfindU

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Das klingt gut.

Aber ich glaube du hast/hattest eine falsche Vorstellung was passiert, wenn wir das 'X' überschreiten. Beachte die Funktion $\begin{eqnarray*} g : \mathbb R \to \mathbb R, g(x) = x^3 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ stetig, stetig differenizerbar, bijektiv. Aber $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist kein Diffeomorphismus. Problem hier ist die 0. Die zwei maximalen Gebiete, auf denen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ noch ein Diffeomorphismus ist, waeren $\begin{eqnarray*} (-\infty, 0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (0 , + \infty) \end{eqnarray*}$ .

Hier ist das Problem also nicht, dass wir Injektivitaet verlieren, sondern die Differenzierbarkeit der Umkehrabbildung.

Ein Diffeomorphismus muss so viele Eigenschaften erfuellen, dass "Ist kein Diffeo mehr" nicht unbedingt dem Mangel an Injektivitaet geschuldet ist.

09.09.2017, 10:47

Mesut95

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Ok danke ich verstehe. smile

Ich würde gerne deine Meinung wissen wie findest su die Aufgabe vom Zeitaufwand und Schwierigkeit bezüglich einer Klausur?

09.09.2017, 11:23

IfindU

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(a) ist Standard und es sollte wohl irgendwas zwischen 5 bis 10 Minuten brauchen alles sauber aufzuschreiben.
(b) Hier hängt es stark davon ab, ob man einen Beweis dafür haben will oder nicht. Bei der Funktion war es ziemlich aufwendig Injektivität zu beweisen. Wenn man aber eine leichtere Funktion hätte, oder es nur, ohne Beweis, angeben soll, so ist auch das eine Aufgabe, die nicht mehr als 10 Minuten brauchen sollte und durchaus in einer Klausur gefragt werden könnte.

Genau diese Aufgabe, mit Beweis, dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ das gesuchte tut, ist für eine Klausur vollkommen ungeeignet. Sie fragt weder Verständnis noch besonders viel Wissen von Analysis II ab, sondern ist rechnen, die man im ersten Semester schon machen könnte -- und das ganze Verbunden mit einem hohen Zeitaufwand.

Edit: Ich habe noch ein wenig nachgedacht. Mit Polarkoordinaten und Additionstheoremen ist es wohl recht einfach Injektivitaet nachzuweisen.

09.09.2017, 11:38

Mesut95

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Ja das finde ich auch.
Unsere Probeklausur ist komischerweise nur mit solchen Zeitaufwändigen Aufgaben, da frage ich mich soll das eine Klausur sein oder ein rennen mitnder Zeit verwirrt

Man hat nicht mal Zeit sich einen fehler zu erlauben und genauso war die Analysis 1 prüfung auch einfach nur ärgerlich.

Wenn ich bei dir b ohne Beweis so ein Gebiet angeben soll muss ich dann einfach nur eines der 4.Kanonischen Gebiete Aufschreiben ?

09.09.2017, 12:11

IfindU

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Die Begründung, warum es kein größeres geben kann, ist ja recht einfach. Sowas würde ich dann hinschreiben.

Beachte mein Edit: Mit Polarkoordinaten geht Injektvität recht flott. Habe es leider erst jetzt gesehen.

09.09.2017, 12:19

Mesut95

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Zitat:

Die Begründung, warum es kein größeres geben kann, ist ja recht einfach. Sowas würde ich dann hinschreiben.

Wie wäre denn die Begründung ?

Meinst du etwa diese :

Zitat:

Einfach wäre: Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eins der vier Gebiete und sei $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ein Gebiet mit $\begin{eqnarray*} G \subsetneq F \end{eqnarray*}$ . Dann $\begin{eqnarray*} F \cap M \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ . Damit kann es auf $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ kein Diffeo sein.

Das verstehe ich irgendwie nicht unglücklich

09.09.2017, 12:34

IfindU

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In Worten steht da einfach nur:

Wenn wir das Gebiet $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ vergrößern zu meiner offenen Mengen $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ , dann muss $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ Elemente von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ (das war die gefaehrliche X-aussehende Menge) enthalten um selbst zusammenhängend zu sein.

Das liegt daran, dass der Rand von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist. Und in metrischen Räumen impliziert Zusammenhängend netterweise Wegzusammenhängend. D.h. ein Weg, der in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ startet und außerhalb von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ landet, muss über $\begin{eqnarray*} \partial G \end{eqnarray*}$ laufen. Aber da ist es kein Diffeo.

Man kann immer genauer werden, aber insb. bei einer Klausur (wenn es nicht explizit gefordert ist), reicht es so etwas zu behaupten statt rigoros zu beweisen. Das zeigt, dass man den Sachverhalt verstanden hat. Nachdem man etwas wirklich verstanden hat, ist der Beweis dazu nur noch Schreibarbeit.

10.09.2017, 12:09

Mesut95

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Hallo IfindU. Die Lösungen zu den klausuraufgaben sind draußen. Die Lösung finde ich echt sehr unvollständig und frage mich wie man sowas akzeptieren kann..
Was sagst du zu der Lösung ?

10.09.2017, 12:24

IfindU

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Die (a) ist unvollständig, da man nichts über stetige Differenzierbarkeit gesagt hat. Die Notation $\begin{eqnarray*} \{ (x,y) | x = \pm y\} \end{eqnarray*}$ finde ich unklar, aber wie sie in (a) verwendet wird, ist klar, dass man $\begin{eqnarray*} \{ (x,y) | x = \pm y\} = \{ (x,y) | |x| = |y|\} \end{eqnarray*}$ meint.

Und damit ist die (b) nicht nur extrem unzureichend begründet, sie ist falsch. Die Funktion ist nicht auf dieser Menge injektiv. Man kann sich sicher drüber streiten wie man "Gebiet" definiert, aber die übliche Definition erfordert zusammenhängend -- was hier auch nicht gegeben ist.

Ich würde jemanden Bescheid sagen.

10.09.2017, 12:33

Mesut95

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ehrlich warum ist die b) falsch ?
Die Menge G die da beschrieben wird ist ja KEIN zusammenhängender Gebiet. Das "X" ist immer dazwischen.

10.09.2017, 12:37

IfindU

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Es gibt Leute die "Gebiet" sehr frei benutzen. Deswegen meine Reservierung dabei. Was aber auch egal ist.

So werden alle Paare $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y,x) \end{eqnarray*}$ immer auf den gleichen Funktionswert geschickt. Auf der Musterloesungsmenge ist die Funktion also nicht injektiv. Insbesondere kein Diffeo. Dass diese Menge nicht zusammenhaengend ist, ist ein "kleines" Detail dem Gegenueber.

10.09.2017, 12:47

Mesut95

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Also verstehe ich das richtig :

Die angegebene Menge kann kein DIffeo sein. Wenn wir Bsp.weise den Punkt

(1,2) nehmen dann kriegen wir :

f(1,2)=(5,e^2)
und nehmen wir den Punkt (2,1) dann haben wir : f(2,1)= (5,e^2) daher kann es nicht Injektiv sein. Nur wenn wir uns auf eines der 4 Gebiete eingrenzen. Stimmt das ?

10.09.2017, 13:39

IfindU

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Genau. Wobei "daher kann es nicht Injektiv sein. Nur wenn wir uns auf eines der 4 Gebiete eingrenzen" etwas zu stark formuliert ist. Man kann natürlich die Mengen "mischen". Also ein Teil eines Gebiets nehmen und ein Teil eines anderen, s.d. es immer noch injektiv ist.

Aber wenn man zusammenhängend haben will, dann ja. Dann muss man sich auf eins der 4 Gebiete einschränken (und natürlich ist die Funktion auf jeder Teilmenge davon injektiv).

Um genau zu sein: Alle Werte (ausser in der 'X'-Menge) haben 4 Urbilder. Wenn $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ eins ist, dann sind $\begin{eqnarray*} (y, x) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (-x,-y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-y, -x) \end{eqnarray*}$ auch Urbilder. Das kann man leicht sehen.

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