Isomorphismus Polynome und Polynomfunktionen

Neue Frage »

manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus Polynome und Polynomfunktionen
Hey Leute,
bekanntlich ist die Funktion die jedem Polynom in K[x] die entsprechende Polynomfunktion zuordnet ein Isomorphismus wenn K ein unendlicher Integritätsbereich ist.

Wir hatten mal eine Aufgabe die so lautete:

Sei K ein Körper. Sei F(K,K) die K-Algebra aller Funktionen von K nach K.
Zeigen Sie, dass die Funktion f: K[x] --> F(K,K), die jedem Polynom die entsprechende Polynomfunktion von K nach K zuordnet, ein K-Algebrenhomomorphismus ist. Kann f ein Isomorphismus sein wenn K unendlich ist?

Als Lösung wurde gesagt, dass es kein Isomorphismus sein kann, da es eine Polynomfunktion gibt, die unendlich viele Nullstellen hat und an einer Stelle eine 1. Diese kann nicht durch das Nullpolynom definiert sein, also hat diese Polynomfunktion kein Urbild.

Jetzt meine Frage: Kann es sein, dass hier in der Bildmenge fälschlicherweise von Polynomfunktionen gesprochen wird und dort wo es fett gedruckt ist "Funktionen von K nach K" heißen soll? Außerdem, die angesprochene Funktion, die mich an die Dirac-Funktion erinnert, ist das überhaupt eine Polynomfunktion!?!?

Danke und LG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist korrekt formuliert. Es gibt keine Polynomfunktion mit unendlich vielen Nullstellen.
Würde die Aufgabe lauten "Zeigen Sie, dass die Funktion f: K[x] --> F(K,K), die jedem Polynom die entsprechende Funktion von K nach K zuordnet, ein K-Algebrenhomomorphismus ist." , könnte man zurecht fragen, welche Funktion einem Polynom zugeordnet werden soll.
Die charakteristische Funktion ist nicht die Dirac-Funktion, weil erstere das Integral 0 und letztere das Integral 1 hat. Beide Funktionen sind keine Polynomfunktionen.
 
 
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, warum ist es dann da kein Isomorphismus?

im Skript steht außerdem: Die Funktion die jedem Polynom in R[x] (R ist unendlicher Integritätsbereich) die entsprechende Polynomfunktion von R nach R zuordnet ist ein Isomorphismus.

Das ist doch zweimal genau dasselbe, einmal ist es ein Isomorphismus und einmal nicht? Wo liegt denn da mein Denkfehler?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ist ein unendlicher Integritätsbereich, so ist ein Homomorphismus.
Das Bild von ist die Menge aller Polynomfunktionen, und das ist eine echte Teilmenge aller Abbildungen von nach . Also ist kein Isomorphismus.
ein Isomorphismus.

Ist ein endlicher Integritätsbereich, so ist ein Homomorphismus.
kein Isomorphismus, weil nicht notwendig injektiv.

Sätze sind nur dann gleich, wenn alle Voraussetzungen gleich und alle Aussagen äquivalent sind.
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe, das macht Sinn.

um es in nochmal in meinen Worten zu sagen: In der ursprünglich von mir geschilderten Aufgabe ist die Bildmenge die Menge aller Abbildungen von R nach R. Aus diesem Grund kann es schon kein Isomorphismus sein, auch wenn die Abbildung gleich definiert ist wie beim zweiten Fall.

Ist die Bildmenge gleich der Menge aller Polynomfunktionen von R nach R, hat wirklich jedes Element des Bildbereichs ein Urbild und ist somit bijektiv (wen R unendlicher Integ.).

Korrekt?

Vielen Dank für die präzise Erklärung! smile
LG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Für Körper ist das mit Sicherheit richtig. Dann kann man auch von Algebrenhomomorphismen und Algebrenisomorphismen reden. Bei Integritätsbereichen bin ich mir nicht ganz so sicher, aber ich glaube, da stimmt es auch, wenn man nur von Ringhomomorphismen spricht. (Übergang zum Quotientenkörper scheint mir dafür zu sprechen, dass hier alles seine Richtigkeit hat.)
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich hier gleich noch eine Frage anhängen darf:

Ich habe bewiesen,dass die Funktion von R^2 nach <1,x> R-Untervektorraum von K[x] mit (a,b) -> a+b*x ein Homomorphismus ist.

Dies ist der Homomorphismus zwischen zwei R-Algebren (mit Notation R^2 ist nicht wirklich R^2 gemeint, sondern der dadurch konstruierte Körper der komplexen Zahlen - zweimal C zu schreiben würde aber noch mehr verwirren) , genauer der zwischen zwei Arten der Konstruktionen von komplexen Zahlen.

Wie zeige ich, dass diese Funktion bijektiv ist? Eigentlich ist es ja nur eine Änderung der Notation
verwirrt

LG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn zwei Ringe isomorph zu C sind, sind die beiden Ringe isomorph.
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

die Aufgabe lautet konkret: Geben sie 3 Möglichkeiten zur Konstruktion der Komplexen Zahlen an. Zeigen Sie, dass sie als R-Algebren isomorph sind.

Muss ich streng genommen zeigen, dass alle 3 isomorph zu C sind oder genügt es der Aufgabenstellerin/dem Aufgabensteller das vorauszusetzen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

a+bx führt genau dann von R auf C, wenn x^2=-1 gilt. In jedem Fall ist der Isomorphismus zu definieren und als solcher nachzuweisen. Billiger geht es nicht.
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

aber dann bin ich gedanklich wieder am Anfang: dann ist zum Beispiel der aus R^2 hergeleitete Körper der Körper der komplexen Zahlen, wegen (0,1)^2=(-1,0). Wie zeige ich dann dass die auf die anderen 2 Weisen hergeleiteten Körper isomorph sind? bzw. eben genau mein Problem: bijektiv sind.

oder ist mit x^2=-1 bzw. (0,1)^2=(-1,0) bzw. ... der Beweis isomorph zu sein hinfällig?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du kommst nur weiter, wenn du die Mengen M1 und M2 und M3 sorgfältig definierst, jeweils die Addition und die Multiplikation definierst, und dann eine isomorphe (bijektive und mit Addition und Multiplikation verträgliche) Abbildung f von M1 auf M2 definierst und beweist, dass diese Abbildung f ein Isomorphismus ist. Du sollst sogar zeigen, dass ein Algebrenisomorphismus vorliegt, also Vektorraumisomorphismus und Ringhomomorphismus. Tipp: Körperisomorphismus mit Fixkörper R genügt, da musst du aber bitte überlegen, warum das genügt.

1. Mengen definieren
2. Operationen definieren
3. Abbildung definieren
4. Beweisen, dass die Abbildung isomorph ist.

Zwei Strukturen sind nicht einfach schon isomorph, wenn man in beiden ein Element mit gleichen Eigenschaften findet. Zwei Körper sind nicht schon deswegen isomorph, weil sie eine Null mit 0+0=0 und eine Eins mit 1*1=1 haben. Gewöhne dich daran: Mathematik ist erstens Arbeit, zweitens Vergnügen (in dieser Reihenfolge), immer und immer wieder.
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

genau, und das habe ich bereits alles gemacht, nun fehlt mir noch der Beweis der Bijektivität. Ist es zulässig so zu argumentieren:

Da IR unendlich ist und lediglich eine Änderung der Notation erfolgt von (a,b) = a*(1,0)+b*(0,1) zu a+b*x= a*1+b*x ist die Funktion bijektiv. 1,x sind linear unabhängig und auch (1,0) und (0,1).

Zu zeigen, dass jedes Element in der Bildmenge genau ein Urbild hat fällt mir schwer, da dieses Problem so trivial ist.

Gruß,
Manuel
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man (3.) die Abbildung definiert hat, kann man auch (4.) ihre Bijektivität beweisen:


injektiv:
surjektiv:

Ich verwende lieber statt , weil man das üblicherweise so macht.
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

ach ok! dachte nicht, dass das so einfach geht! Gott

Danke und LG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. Mengen definieren
2. Operationen definieren
3. Abbildung definieren
4. Beweisen, dass die Abbildung isomorph ist.

Der letzte Schritt ist genau dann einfach, wenn man die ersten Schritte erfolgreich gegangen ist. (Weisheit des Zen-Buddhismus Big Laugh ). Siehe auch hier: https://die-glueckspiraten.de/mit-enttae...eiche-schritte/ Augenzwinkern
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »