Primzahlen bestimmen

06.09.2017, 17:06	toaddd	Auf diesen Beitrag antworten »
Primzahlen bestimmen Meine Frage: Bestimmen sie alle Primzahlen $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ,für die $\begin{eqnarray} n^4+4^n \end{eqnarray}$ eine Primzahl ist. Meine Ideen: Hi leute, ich habe mir mal die Zahlen von $\begin{eqnarray} n=1,..,10 \end{eqnarray}$ per wolframalpha mal angeben lassen. also $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n^4+4^n=5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n^4+4^n=2^5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n^4+4^n=529 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=4 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n^4+4^n=2^9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=5 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n^4+4^n=1797 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=6 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n^4+4^n=2^4337 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=7 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n^4+4^n=51317^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=8 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n^4+4^n=2^{12}17 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=9 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n^4+4^n=561881 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=10 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n^4+4^n=2^466161 \end{eqnarray}$ jetzt ist ja bei $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 5 \end{eqnarray*}$ die einzige Primzahl, da alle anderen Zahlen nicht die Definition der Primzahlen erfüllen. Wie bekomme ich eine allgemeine Lösung? viele grüße
06.09.2017, 17:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
(Besteht anscheinend kein Interesse mehr.)
08.09.2017, 14:03	toaddd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi ich war leider krank,sorry für die verspätete Reaktion, also ich kann $\begin{eqnarray} n^4+4^n \end{eqnarray}$ umformen zu $\begin{eqnarray} n^4+4^n=(n^2+2^{\frac{n+1}{2}}n+2^n)(n^2-2^{\frac{n+1}{2}}n+2^n) \end{eqnarray}$ sollte $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ jetzt gerade sein,ist es keine Primzahl dann ist die Zahl aufjedenfall durch $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ teilbar sein. ist $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ungerade also $\begin{eqnarray} n=2k+1 \forall k \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ jetzt zeig ich $\begin{eqnarray} (n^2+2^{\frac{n+1}{2}}n+2^n)>1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^2 \ge 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2^{\frac{n+1}{2}}n \ge 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2^n \ge 2 \end{eqnarray}$ damit ist die gesammte Summe echt größer 1 für alle $\begin{eqnarray} n=2k+1 k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (n^2-2^{\frac{n+1}{2}}n+2^n) \end{eqnarray}$ ist nur dann echt größer als $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} n=3 \end{eqnarray}$ ist,da bei $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 1>1 \end{eqnarray}$ steht und das ist ein Widerspruch,d.h. außer für $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ sind beider Faktoren echt größer eins,also kann die Zahl,die aus $\begin{eqnarray} n^4+4^n \end{eqnarray}$ resultiert keine Primzahl sein,da sie ein Produkt von zwei ganzen Zahlen ist.Also ist außer für n=1 nichts eine Primzahl .Die Lösungsmenge ist folglich $\begin{eqnarray} \mathbb L:=\{ n\in \mathbb P \| n=1 \wedge n^4+4^n\} =\{5\} \end{eqnarray*}$
08.09.2017, 14:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Bereits 10 Minuten nach dem Originalposting erkrankt? Na Hauptsache wieder gesundet.
08.09.2017, 14:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde, man sollte entweder Ausreden meiden und für sein eigenes Fehlverhalten um Entschuldigung bitten (die in der Regel dann auch gewährt wird), oder man sollte bei der Ausrede so dick auftragen, daß jeder merkt, daß man beim Schwindeln ertappt werden will. Sorry für die verspätete Reaktion, aber beim Tippen auf der Tastatur ist mein Fingernagel an einer Taste hängen geblieben, so daß sie herausgerissen wurde und es zu einem Kurzschluß kam, der zum völligen Abbrennen unseres Hauses führte. Aber jetzt bin ich wieder da, und ich hoffe, du bist mir nicht mehr böse.
08.09.2017, 15:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Fehlverhalten würde ich es gar nicht bezeichen, und ich war hier zugegeben auch etwas weniger geduldig als sonst. Es ist nur diese häufige Beobachtung, die mir sauer aufstößt: Trotz zeitnaher Antwort (<10 min) erfolgt tagelang oder sogar nie eine Antwort. Meistens tippe ich in den Fällen ja darauf, dass der Fragesteller erstmal in zig Foren dieselbe Frage streut, um dann später die Ernte einzufahren. Bei dieser zweiten Runde muss man dann ja nicht mehr alle Foren besuchen, wenn schon eher eine passende Antwort gefunden wurde. So nach dem Motto: Abwarten (auch nicht paar Minuten) ist out, posten wir doch gleich breitgestreut überall! ------------------------------------------------------------------------------------- Kommen wir zurück zum Inhalt: Die Faktorisierung ist jetzt ja klar. Dass für den größeren Faktor $\begin{align} n^2+2^{\frac{n+1}{2}}n+2^n>1 \end{align}$ gilt, ist ohnehin klar. Besser konzentriert man sich auf den Nachweis, dass dies auch für den anderen, kleineren Faktor der Fall ist, und das kann im Fall $\begin{align} n\geq 3 \end{align}$ z.B. so geschehen: $\begin{align} n^2-2^{\frac{n+1}{2}}n+2^n = \left(n-2^{\frac{n-1}{2}}\right)^2+2^{n-1} \geq 2^{n-1} \geq 4 \end{align}$ . Für $\begin{align} n=1 \end{align}$ ist das nicht der Fall, da haben wir $\begin{align} n^2-2^{\frac{n+1}{2}}n+2^n = 1 \end{align}$ , was letztlich dazu beiträgt, dass wir hier mit $\begin{align} n^4+4^n=5 \end{align}$ die einzige Primzahl dieser Termstruktur haben.
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