Additionstheorem Cos(a+b)=cos(a) cos(b)-sin(a)(sin(b)

07.09.2017, 11:04

boris602

Additionstheorem Cos(a+b)=cos(a) cos(b)-sin(a)(sin(b)

Hallo, suche nach einem mathematischem Beweis des Additionstheorems. Im Internet finde ich jedoch nur den geometrischen Beweis, da im unserem Skript steht, dass dieser mit Hilfe der der Potenzreihe und des Cauchy-Produktes bewiesen werden kann, jedoch angeblich sehr mühselig sei. Wäre dankbar wenn jemand einen Ansatz für diesen Beweis geben könnte oder ein Link dazu kennen würde.

07.09.2017, 11:09

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Additionstheorem Cos(a+b)=cos(a) cos(b)-sin(a)(sin(b)
http://matheplanet.com/default3.html?cal...ww.google.de%2F

07.09.2017, 11:10

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Additionstheorem Cos(a+b)=cos(a) cos(b)-sin(a)(sin(b)
Der Ansatz ist einfach $\begin{eqnarray*} \cos(a), \cos(b), \sin(a), \sin(b) \end{eqnarray*}$ als Potenzreihen aufschreiben und mit dem Cauchyprodukt die Produkte auf der rechten Seite erneut als Potenzreihe schreiben.

Ansonsten kann man es auch auf die e-Funktion reduzieren, indem man $\begin{eqnarray*} e^{i(a+b)}=e^{ia} \cdot e^{ib} \end{eqnarray*}$ benutzt (eine Rechenregeln, die ebenfalls mit dem Cauchy-Produkt beweisen kann) und davon den Realteil nimmt. Im letzteren kommt die Euler-Formel zu tragen, die trivial aus den Potenzreihendarstellungen folgt.

@aditur Das sind doch gerade nicht-gewollte geometrische Beweise verwirrt

07.09.2017, 11:53

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Es kommt immer darauf an, wie Sinus und Cosinus eingeführt werden und welche Zusammenhänge man bereits verwenden darf. Wenn diese Funktionen mit ihren wichtigsten Werten und ihren Ableitungen bekannt sind, kann man folgendermaßen argumentieren. In

$\begin{align*} f(t) = \cos(t) \cos(c-t) - \sin(t) \sin(c-t) \, , \ \ t \in \mathbb{R} \end{align*}$

faßt man $\begin{align*} c \in \mathbb{R} \end{align*}$ als Parameter auf. Man erhält $\begin{align*} f'(t) = 0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} t \end{align*}$ , schließt auf die Konstanz von $\begin{align*} f \end{align*}$ , erhält speziell für $\begin{align*} t=0 \end{align*}$ , daß diese Konstante $\begin{align*} \cos(c) \end{align*}$ ist, und bekommt so eine für alle reellen $\begin{align*} c,t \end{align*}$ gültige Identität, in der man speziell $\begin{align*} t=a \end{align*}$ und $\begin{align*} c=a+b \end{align*}$ setzt. Der Beweis kann auch komplex geführt werden, wenn man schon über verschwindende Ableitungen auf zusammenhängenden Mengen Bescheid weiß.

07.09.2017, 13:56

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von boris602
Hallo, suche nach einem mathematischem Beweis des Additionstheorems. Im Internet finde ich jedoch nur den geometrischen Beweis

Die hier implizit drin steckende Klassifizierung der geometrischen Beweisvariante als "nicht mathematisch" entlockt mir ein Schmunzeln, auch und gerade angesichts zurückliegender Board-Diskussionen, welche Definitionsvariante für trigonometrische Funktionen denn nun die "bessere" sei: geometrisch oder analytisch. Augenzwinkern

07.09.2017, 14:38

boris602

Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die Hilfe, und das mit dem mathematisch war natürlich ein wenig unglücklich ausgedrückt smile

Neue Frage »

Antworten »

Additionstheorem Cos(a+b)=cos(a) cos(b)-sin(a)(sin(b)

Verwandte Themen