Allg. Frage: Wie sehen, ob eine Funktion glm stetig ist?

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Bfury Auf diesen Beitrag antworten »
Allg. Frage: Wie sehen, ob eine Funktion glm stetig ist?
Hallo Forum!

Ich hatte hier vor einigen Wochen mal eine spezielle Frage zu einer Abschätzung bei einem Epsilon-Delta Beweis der Stetigkeit. Ich konnte anschließend zeigen, dass die Funktion stetig ist.

Daraufhin wurde ich darauf hingewiesen, dass die Funktion sogar gleichmäßig stetig ist.

Nun hab ich mir nochmal Gedanken gemacht und mir kam die Frage, wann und wie die Vermutung zu Stande kommt, dass eine Funktion nicht nur stetig, sondern sogar gleichmäßig stetig ist, wenn man es (noch nicht) bereits weiss.

Bei vielen Funktionen kann man sich ja den Funktionsgraphen plotten. Der Graph verrät ja schon sehr viel. Aber was, wenn man es evtl mit komplizierteren Abbildungen zu tun hat?

Wie kann man, ohne kurzerhand einen Plotter anzuwerfen und sowas triviales wie f(x) = 1/x zu plotten, auf eine gleichmäßige Stetigkeit schließen? Gibt es denn Möglichkeiten?

Danke für jeden Hinweis!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hinreichend für gleichmäßige Stetigkeit ist z.B. Lipschitz-Stetigkeit. Und hinreichend für die wiederum ist, dass die Funktion stetig sowie f.ü. differenzierbar ist und diese Ableitung beschränkt ist.

Das deckt bei weitem nicht alle Fälle gleichmäßig stetiger Funktionen ab, aber doch schon einen großen Batzen der Feld-, Wald- und Wiesenfunktionen, die einem gewöhnlich so unterkommen.

Wenn du von Beispielfunktion sprichst, musst du auch sagen, auf welchem Intervall du die betrachten willst: Auf Intervall ist sie gleichmäßig stetig, auf jedoch nicht.
Bfury Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL!

ja natürlich! Das mit der Lipschitz-Stetigkeit, f.ü. differenzierbar und beschränkte Ableitung ist so etwa genau der Hinweis, den ich gesucht habe. Wie konnte ich das nicht sehen, wo es doch so naheliegend ist. Vielen Dank

Das mit dem Intervall bei 1/x stimmt natürlich, das hätte ich erwähnen sollen.

Ja super, damit ist die Frage eigentlich sogar schon beantwortet. Ich danke dir sehr Freude
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Hilfreich ist sicher auch:

Wenn eine Funktion auf einem kompakten Intervall [a, b] stetig ist, dann ist sie dort auch gleichmäßig stetig.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das deckt noch wichtige Fälle ab, die eben nicht unter Lipschitz fallen, wie etwa auf .
Bfury Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal,

das mit den kompakten Intervallen wusste ich. Trotzdem Danke für's Erwähnen Wink
 
 
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