ggT Variation

08.09.2017, 17:50	matheidiot123	Auf diesen Beitrag antworten »
ggT Variation Meine Frage: Hi ich hab noch ne Frage zum ggt.Also Seien $\begin{eqnarray} a,b,c \in \mathbb Z , c \neq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d=ggt(a,b,c) \end{eqnarray}$ .Zeigen sie,dass ein $\begin{eqnarray} m \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} ggt(a+mb,c)=d. \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also mit meinen Überlegungen komm ich einfach nicht weiter. ich habe mir überlegt $\begin{eqnarray} ggt(a,b,c)=ggt(ggt(a,b),c) \end{eqnarray}$ jetzt gibts im Skript noch dem satz $\begin{eqnarray} (m+xn,n)=(m,n)=(m,n+ym) \end{eqnarray}$ für x,y \in \mathbb Z[/l] aber ich finde keinen Ansatz,keinen weg der mich zum ziel führt..:/
08.09.2017, 18:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist nach Normierung dasselbe wie hier .
09.09.2017, 09:33	matheidiot123	Auf diesen Beitrag antworten »
guten morgen, mit normierung meinst du doch ,dass ich das zu d inverse finde,sodass aus $\begin{eqnarray} ggt(a+xb,c)=d \end{eqnarray}$ äquivalent $\begin{eqnarray} d^{-1}ggt(a+xb,c)=1 \end{eqnarray}$ aber jetzt steht in einen der Hinweise aus dem anderen Beitrag,dass man die Menge der Primzahlen nehmen soll und dann eine Zahl $\begin{eqnarray} g \in \mathbb P \end{eqnarray}$ finden soll daraus,die $\begin{eqnarray} g\|(a+xb) \wedge g\|c \end{eqnarray}$ teilt,dann wäre $\begin{eqnarray} g=d \end{eqnarray*}$ .Aber komm irgendwie nicht voran
09.09.2017, 10:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Normierung und Zurückführung auf den teilerfremden Fall $\begin{eqnarray} ggT(a,b,c)=1 \end{eqnarray}$ ist folgende Überlegung gemeint: $\begin{eqnarray} ggT(a,b,c)=d\Rightarrow ggT(\frac a d, \frac b d, \frac c d)=1\Rightarrow \exists x : ggT(\frac a d+ \frac b d x, \frac c d)=1\Rightarrow ggT(a+bx,c)=d \end{eqnarray}$ Inzwischen ist mir auch klar, dass man den allgemeinen Fall $\begin{eqnarray} ggT(a,b)\ne 1 \end{eqnarray}$ durch genau dieselbe Normierung zurückführen kann auf den Fall $\begin{eqnarray} ggT(a,b)=1 \end{eqnarray}$ . Insgesamt ist also der Dirichletsche Primzahlsatz zielführend. Das entspricht nicht genau dem Hinweis, den du in deinem letzten Beitrag erwähnt hast, aber was du da schreibst, kann ja auch gar nicht stimmen.
09.09.2017, 11:46	matheidiot123	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(X)=aX+b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb Z, a\neq 0 \end{eqnarray}$ ,so gilt $\begin{eqnarray} f(k) \in \mathbb P \end{eqnarray}$ für höchstens endlich viele $\begin{eqnarray} k \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ ,falls $\begin{eqnarray} ggt(a,b) \neq 1 \end{eqnarray}$ .Im Fall $\begin{eqnarray} ggt(a,b)=1 \end{eqnarray}$ sagt D.primzahlsatz: unendliche viele $\begin{eqnarray} k \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ , wo $\begin{eqnarray} f(k) \end{eqnarray}$ eine primzahl ist. Also brauch ich ja jetzt,dass $\begin{eqnarray} ggt(a,b)=1 \end{eqnarray}$ ,aber wie zeig ich das jetzt?ich hab ja keinerlei auskunft über a und b außer,dass die aus den ganzen Zahlen sind
09.09.2017, 12:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du stellst merkwürdige Fragen ... mach doch einfach eine Fallunterscheidung. $\begin{eqnarray} ggT(a,b)=1 \end{eqnarray}$ gilt oder gilt nicht. Wenn es gilt, kommst du hoffentlich weiter. Wenn nicht, dann ist $\begin{eqnarray} ggT(a,b)=t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ggT(\frac a t, \frac b t)=1 \end{eqnarray}$ . Dann ist stets $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray} ak+b \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} ak+b \end{eqnarray}$ niemals prim.
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09.09.2017, 13:56	matheidiot123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi komolitione war gerade da, und hat nen ganz guten lösungsansatz 1.Fall: $\begin{eqnarray} ggt(a+bx,c)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x:=\prod_{p \in \mathbb P, p\|c,p \nmid a+bx} p \end{eqnarray}$ jetzt gibt es 2 Fälle eine Zahl $\begin{eqnarray} t \in \mathbb P \end{eqnarray}$ ist ein Primteiler von $\begin{eqnarray} a+bx \end{eqnarray}$ ,jedoch kann er dann nicht nicht teiler von $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ sein,da $\begin{eqnarray} ggt(a+bx,c)=1 \end{eqnarray}$ . 2.Fall jetzt teilt $\begin{eqnarray} t\|c \end{eqnarray}$ ,dann ist er aber kein Teiler von $\begin{eqnarray} a+bx \end{eqnarray}$ ,da ja laut verraussetzung $\begin{eqnarray} ggt(a+bx,c)=1 \end{eqnarray}$ gelten muss. es gibt also keine Primzahl die a+bx und c teilt 2.Fall: $\begin{eqnarray} ggt(a+bx,c)=d \end{eqnarray}$ den Falls hast du ja schon beschrieben
09.09.2017, 14:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist kein Lösungsansatz, das ist völlig unlogisch. Du darfst keine Fallunterscheidung über die Behauptung machen. Du musst eine Fallunterscheidung über die Voraussetzung machen.

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