Ableitung der L2 Norm/ Skalarprodukt

09.09.2017, 19:49

alina94

Ableitung der L2 Norm/ Skalarprodukt

Hey,

ich habe hier eine Formel aus dem Bereich der Navier-Stokes Gleichungen, nämlich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \frac{d}{dt} ||u||^2_{L^2( \Omega) } = <\frac{d}{dt}u,u>_{L^2( \Omega )} \end{eqnarray*}$ ,

wobei u von der Zeitvariablen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und den Raumvariablen $\begin{eqnarray*} x = (x_1, x_2, x_3) \end{eqnarray*}$ abhängt, und bin mir nicht ganz sicher ob ich die richtige Herleitung dafür gefunden habe. Also mein Ansatz ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \frac{d}{dt} ||u||^2_{L^2( \Omega )} = \frac{1}{2} \frac{d}{dt} \left( \int_{ \Omega } \! |u|^2 \, dx \right) = \frac{1}{2} \int_{ \Omega } \! \frac{d}{dt} |u|^2 \, dx = \frac{1}{2} \int_{ \Omega } \! \frac{d}{dt} (u_1^2 + u_2^2 + u_3^2) \, dx = \frac{1}{2} \int_{ \Omega } \! 2 u_1 \frac{d}{dt} u_1 + 2 u_2 \frac{d}{dt} u_2 + 2 u_3 \frac{d}{dt} u_3 dx = \int_{ \Omega } \! u \cdot \frac{d}{dt} u \, dx = <\frac{d}{dt}u,u>_{L^2( \Omega )} \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} | \cdot | \end{eqnarray*}$ die euklidische Norm und $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ das euklidische Skalarprodukt bezeichnen. Wäre super wenn mir kurz jemand sagen könnte ob das so stimmt. Und ich meine auch, dass das Ganze in der Vorlesung noch einfacher bewiesen wurde ohne die vielen Umformungen, vielleicht weiß da noch jemand einen weiteren Ansatz?

Danke schon mal wieder im Voraus! smile

10.09.2017, 07:29

IfindU

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RE: Ableitung der L2 Norm/ Skalarprodukt
Mit genügend Regularitätsannahmen an $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ stimmt das. Z.B. $\begin{eqnarray*} u \in C^1( [0,T] \times\Omega, \mathbb R^3) \end{eqnarray*}$ mit ein paar Integrationsbedingungen, falls $\begin{eqnarray*} \mathcal L^3(\Omega) =\infty \end{eqnarray*}$ . Du benutzt naemlich, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} u( \cdot, x) \end{eqnarray*}$ fuer fast alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, wenn du es ins Integral schreibst.

Allerdings braucht man eigentlich nur $\begin{eqnarray*} u \in C^1( [0,T], L^2(\Omega, \mathbb R^3)) \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} v \in L^2(\Omega, \mathbb R^3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u\in C^1([0,T], L^2(\Omega, \mathbb R^3)) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac d {dt} \langle u, v\rangle = \left\langle\frac d {dt} u, v\right\rangle \end{eqnarray*}$ , einfach nur die Linearität vom Skalarprodukt in der ersten Komponente benutzt. Wenn $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ebenfalls von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abhängt, braucht man die Produktregel, die 1:1 wie in Analysis 1 bewiesen werden kann.

Alternative zum direkten Herleiten der Produktformel:
Definiert man nun $\begin{eqnarray*} F : L^2(\Omega, \mathbb R^3) \times L^2(\Omega, \mathbb R^3) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F(v,w ) = \langle v,w\rangle \end{eqnarray*}$ . Es ist einfach zu sehen, dass die Abbildung (Frechet/Gateaux) differenzierbar ist, mit $\begin{eqnarray*} DF(v,w)[f,g] = \langle f,g\rangle \end{eqnarray*}$ . Mit der Kettenregel folgt nun ebenfalls die Produktregel.

10.09.2017, 17:23

alina94

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RE: Ableitung der L2 Norm/ Skalarprodukt

Zitat:

Original von IfindU
Allerdings braucht man eigentlich nur $\begin{eqnarray*} u \in C^1( [0,T], L^2(\Omega, \mathbb R^3)) \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} v \in L^2(\Omega, \mathbb R^3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u\in C^1([0,T], L^2(\Omega, \mathbb R^3)) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac d {dt} \langle u, v\rangle = \left\langle\frac d {dt} u, v\right\rangle \end{eqnarray*}$ , einfach nur die Linearität vom Skalarprodukt in der ersten Komponente benutzt. Wenn $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ebenfalls von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abhängt, braucht man die Produktregel, die 1:1 wie in Analysis 1 bewiesen werden kann.

Ah ja, genau auf so etwas hatte ich gehofft. Das wäre dann einfach

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \frac{d}{dt} <u,u> = \frac{1}{2} <\frac{d}{dt} u, u> + \frac{1}{2} <u, \frac{d}{dt} u> = <\frac{d}{dt} u, u> \end{eqnarray*}$

wenn ich das richtig verstehe. Vielen Dank für die ausführliche Antwort.

10.09.2017, 17:34

IfindU

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RE: Ableitung der L2 Norm/ Skalarprodukt
Genau das meinte ich Freude

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