Kugel in Urnen mit Fassungsvermögen/ Kapazität |
| 10.09.2017, 10:29 | Nagatroll | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Kugel in Urnen mit Fassungsvermögen/ Kapazität Hallo, ich habe folgende Aufgabe gefunden und bin auf der Suche nach einer Lösung - vor allem für ii: i) Auf wie viele Arten kann man 5 Kugeln in 10 Urnen legen, wenn jede Urne maximal 1 Kugel fassen kann. ii) Auf wie viele Arten kann man 5 Kugeln in 10 Urnen legen, wenn jede Urne maximal 2 Kugeln fassen kann. Mir macht hier - da die Aufgabenstellung nicht eindeutig ist - die Unterscheidbarkeit der Urnen ein Problem: Meine Ideen: Bekannt ist ja, dass wenn die Kugeln "unendliche" Kapazität (oder eine Kapazität größer gleich 5) hätten das ganze 10^5 wäre, sofern die Urnen ununterscheidbar sind. Wenn die Kapazität hingegen 1 ist ergibt sich das ganze ja zu 10! / 5! (also 30.240 die Lösung von i) wenn die Urnen ununterscheidbar sind. zu ii) Meine Idee war jetzt, dass ich mir überlege, dass es ja prinzipiell nur die folgenden drei Möglichkeiten gibt: Alle 5 Kugeln in 5 verschiedenen Urnen, also (1,1,1,1,1,0,0,0,0,0) Eine Urne ist doppelt besetzt, also (2,1,1,1,0,0,0,0,0,0) Zwei Urnen sind doppelt besetzt (2,2,1,0,0,0,0,0,0,0) Für diese kann ich ja die Permutationen bestimmen: im ersten Fall sind dies 10!/ (5! * 5!) = 252 im zweiten Fall sind dies 10!/ (3! * 6!) = 840 im dritten Fall sind dies 10!/ (2! * 7!) = 360 Also insgesamt 1.452 Möglichkeiten... vergleicht man dies mit den Anzahl der Möglichkeiten aus i) sind das deutlich weniger, obwohl es ja viel mehr sein müssten. Wo liegt jetzt mein Fehler? Ich glaube bei der Berechnung von i) sage ich, dass die Urnen alle unterschiedlich sind, während bei ii) unterscheide ich nur ob doppelt/ voll belegt, einfach belegt oder gar nicht belegt, ist das korrekt? Aus der Aufgabenstellung geht das jetzt nicht genau hervor, ob die Urnen unterscheidbar sind... falls für beide Aufgabenstellungen die Urnen unterscheidbar sein sollen, dann wäre die Lösung von ii falsch bzw. wenn sie ununterscheidbar sind, dann wäre die Lösung von i falsch und wäre dann analog zum Fall (1,1,1,1,1,0,0,0,0,0) 252 Möglichkeiten oder? Wie würde ich nun bei ii) die Anzahl der Möglichkeiten bestimmen, wenn die Urnen unterschiedlich sein sollen? Lg Naga |
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| 10.09.2017, 10:45 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gehe mal davon aus, dass die Urnen unterscheidbar sind und die Kugeln nicht . |
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| 10.09.2017, 11:09 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oder um es genauer zu sagen: Bei dieser Rechnung
sind die 5 Kugeln unterscheidbar, bei jener Rechnung
jedoch nicht. Du solltest dich also entscheiden, was du bei den Kugeln wirklich willst: Unterscheidbar oder nicht? P.S.: In beiden Rechnungen sind - entgegen deinen Aussagen - die 10 Urnen sehr wohl unterscheidbar. 
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| 10.09.2017, 13:03 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@nagatroll: [halbernst] Kugeln und Urnen sind keine mathematischen Objekte sondern entstammen der Realität. Kugeln sind rund (!) und haben den natürlichen Drang zur Bewegung. Denk mal an die 79 Arten von Spielen in denen Kugeln/Bälle vorkommen. Selbst beim Fußball wird ausgetauscht und die Identität des ursprünglichen Balles geht verloren... Vom Tennistraining mit Ballmaschine ganz zu schweigen. Ganz anders dagegen die Urnen ! Ihre natürliche Eigenschaft sind die meist konstanten Ortskoordinaten. Daraus folgt implizit die Unterscheidbarkeit. O.k. , ich weiß nun nicht sicher ob es in Ostfriesland nicht doch einen Wettbewerb mit "Urnenweitwerfen" gibt oder nicht. [/halbernst] |
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