Polynomfunktion in Linearfaktoren zerlegen

Neue Frage »

Thisor Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomfunktion in Linearfaktoren zerlegen
Hi, ich bin gerade dabei mir selbst Polynomfunktionen beizubringen, da das Studium vor der Türe steht und ich dies nicht in der Schule hatte. Die Aufgabe ist von dem Buch Übungsaufgaben-Papula, denke aber, dass das noch Schulniveau ist. Daher stell ich sie mal hier:

Ich soll ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) in Linearfaktoren zerlegen.
y = -2x^3 + 20x^2 -24x -144

Die Schwierigkeit für mich ist hier richtig zu klammern.
Würde ich mit 0 = 2 (....) anfangen, würde ich die x^3 behalten und könnte somit die p/q-Formel nicht benutzen. Würde ich 0 = x (....) schreiben, geht das wegen den "-144" nicht.

Ich komme absolut nicht weiter, da ich viele Grundlagen in Mathe nicht beherrsche und somit nicht weiß was in so einem Fall - Exponent größer 2 - zu machen ist.
Würde mich über Hilfe freuen :-)


edit: bin eben auf Horner-Schema gestolpert, ich werd's nochmal allein probieren.
Thisor Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polnynomfunktion in Linearfaktoren zerlegen
So, mit dem Horner-Schema hat das ziemlich gut geklappt, kam -2 24 -72 und 0 raus.
Hierzu hätte ich eine Frage: laut dem Erklär-Video ist die Zahl (x1) meist zwischen 3 und -3.
Gibt's da ein Tipp dazu wie man im worst-case das 6-mal zu probieren umgehen kann?

Da ich die Lösung vor mir habe, habe ich mit 0 = -2x^2 + 24x -72 weiter gerechnet und bekam dann schlussendlich x1 = -2 ; x2 = 6; x3 = 6 raus, was auch soweit stimmt. Aber hier würde ich gerne nachhaken: mich wundert wieso aus allen Hochzahlen -1 abgezogen wurde. Ist das Horner-Schema der Grund?
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst mal -2 ausklammern.
Dann steht als absolutes Glied zuletzt 72. Das Polynom ist vom Grad 3, daher wird es 3 Linearfaktoren geben.
Somit ist



und



Das Minus bei 72 wieder deswegen, weil es sich um eine ungerade Anzahl an Faktoren handelt.
Nun wird man versuchen, ganzzahlige Teiler herauszufinden, also Teiler von 72
Diese kannst du nacheinander in das Polynom einsetzen und wo sich Null ergibt, hast du einen Linearfaktor gefunden.

Wenn du den ersten hast, wird das Polynom durch diesen ersten Linearfaktor dividiert und man hat dann ein quadratisches Polynom, welches man nun mit der Lösungsformel (oder Vieta) weiter behandeln kann.

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss durchaus nicht sein, dass die Teiler alle zwischen -3 und 3 liegen, im worst case könnten hier Teiler auch 72, 36, 24 , ... sein.
Mittels des Horner Schemas lassen sich lediglich die Polynomwerte leichter/schneller bestimmen, zu berechnen sind sie allemal.

Mittels eines Graphen lassen sich die Nullstellen allerdings schnell eingrenzen (!)



mY+
Thisor Auf diesen Beitrag antworten »

@mYthos danke für die Antworten.
y = 2 (x - x1) (x - x2) (x - x3).. sehe das zum ersten mal , ist dies (inkl. minus-Zeichen) eine allg. Gleichung / Aufstellung bei Linearfaktoren?

Wenn ich mir das so anschaue, müsste es bei mir heißen:
y = 2 (x + 2 ) (x - 6 ) (x - 6)

(x + 2) deshalb weil mein x1 = -2 war und ich es so mit reingenommen habe.

Was mir noch unklar bleibt ist die 2 vor den Klammern.
Wie bildet sich diese Zahl? Bei mir im Lösungsbuch steht nämlich:
y = -2 (x + 2 ) (x - 6 ) (x - 6)

Dachte an dieser Stelle, entweder ist das die Zahl welches den Wert mit dem höchsten Exponent hat oder man wählt einfach x1... raten möchte aber nicht, zudem steht bei dir (+)2 :-)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, natürlich kann man auch gleich -2 ausklammern (ist vielleicht eh besser, sorry)!
-----
Und das andere ist der Fundamentalsatz der Algebra:
Jedes Polynom n-ten Grades mit rationalen Koeffizienten lässt sich in n Linearfaktoren zerlegen.
Demnach hat jede entsprechende Gleichung (mit Null gesetztem Polynom) n Lösungen.
Gibt es komplexe Lösungen, so treten diese paarweise (konjugiert komplex) auf.
Im Graphen sieht an diese jedoch nicht, bzw. erkennt man daran, dass die Kurve die x-Achse nicht schneidet.

mY+
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Jedes Polynom n-ten Grades mit rationalen Koeffizienten lässt sich in n Linearfaktoren zerlegen.
Demnach hat jede entsprechende Gleichung (mit Null gesetztem Polynom) n Lösungen.
Gibt es komplexe Lösungen, so treten diese paarweise (konjugiert komplex) auf.
Im Graphen sieht an diese jedoch nicht, bzw. erkennt man daran, dass die Kurve die x-Achse nicht schneidet.


Ich finde diese Aussage verwirrend. Fragen der Zerlegbarkeit hängen immer vom Körper ab, in dem die Polynome sich aufhalten. Ich vermute auch, daß Thisor gar nicht mit komplexen Zahlen arbeitet, vielleicht nicht einmal weiß, was es damit auf sich hat. Reelle Polynome (also Polynome mit reellen Koeffizienten) lassen sich immer in lineare und unzerlegbare quadratische Faktoren zerlegen (Beispiel: besitzt eine Zerlegung in einen linearen und einen unzerlegbaren quadratischen Faktor). Mit rationalen Koeffizienten hat das nichts zu tun.
Thisor Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, mit komplexen Zahlen arbeite ich noch nicht. Aber ich glaube im Allgemeinen verstehe ich es nun besser: -2 (x + 2) (x - 6) (x - 6) = -2 (x + 2) (x - 6)^2
wobei ich das jetzt so verstanden habe, dass die unzerlegbare quadratische Faktoren hier (in meinem Fall) nur zur Vollständigkeit aufgeführt ist, da nach Linearfaktoren gefragt ist.

Soweit erstmal danke an euch beiden!

Die nächste Aufgabe würde lauten b): y = 2x^4 + 12x^3 - 44x + 30
Hab wieder den Horner-Schema angewandt mit x = 1 -> 2 14 30 0.
Leider habe ich noch keine Antwort auf die Frage, wenn ich dieses Schema anwende, überall -1 bei den Exponenten abziehen muss, erhalten. Habe es aber trotzdem mal gemacht:
1. reduziertes Polynom: 2x^3 + 14x^2 - 30

Jetzt wollte ich diesen Vorgang wiederholen, damit ich eine quadratische Gleichung habe.
Wenn ich mir aber die Lösung ansehe, habe ich bereits einen Fehler eingebaut.
Und zwar wird in der Lösung das Schema mit 2 12 0 -44 30 begonnen.
Woher kommt diese 0?

Die nächsten Aufgaben werden nicht einfacher, im Gegenteil, die Ausdrücke werden immer länger und die exponenten höher. Und jedes mal zu jeder Aufgabe eine zu Frage stellen ( c); d); usw.) ist irgendwie auch doof. Ihr könnt mir gerne eine Seite verlinken oder einfach die Themen nennen, die hierfür erforderlich sind, dann könnte ich mir dazu z.b. wieder Erklär-Videos raussuchen und es erneut versuchen. :-)
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

die Koeffizienten bilden einen Vektor, allerdings muss dann wie im Stellenwertsystem die Null eingeführt werden.
d.h. alle Potenzen die nicht vorkommen müssen mit der Null als Faktor aufgeführt werden.

und der ist jetzt für "Horner" geeignet.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst dazu:
Zitat:
Fundamentalsatz der Algebra:
Im Bereich der komplexen Zahlen besitzt jede ganzrationale Gleichung n-ten Grades genau n Lösungen.

Wie man sieht, hat dies doch mit rationalen Koeffizienten zu tun.
Was ich nicht explizit erwähnt habe, ist, dass die Grundmenge aus den komplexen Zahlen besteht, aber dazu gesagt, dass es auch komplexe Lösungen geben kann (!).
Die Kenntnis - zumindest die Grundlagen - über komplexe Zahlen sind auch in der Schulmathematik erforderlich!
-----------
Zum Horner-Schema:
Dieses wird oft missverstanden. Das Verfahren ermittelt NICHT die Nullstellen, sondern den Funktionswert an einer bestimmten Stelle (x).
Im Weiteren wird damit elegant die Polynomdivision ersetzt.
Aber es bleibt nicht erspart, zunächst etwaige Nullstellen zu erraten bzw. diese durch Einsetzen in den Funktionsterm zu verifizieren. Dies kann mühsam bis unmöglich werden, wenn es zum Beispiel keine ganzzahligen Nullstellen gibt.
Bei Gleichungen höheren Grades wird man also um ein Näherungsverfahren nicht herumkommen.
Mittlerweile ist es oft nicht mehr die Herausforderung, diese Rechnungen mit verhältnismäßig großem Aufwand zu vollziehen, denn mit dem heute zur Verfügung stehenden Technologieeinsatz, der in immer mehr Schulen (vernünftigerweise) Platz greift, werden gegebenenfalls umfangreichere Rechenmonster vermieden.
Natürlich soll die Technologie immer nur ein Hilfsmittel bei der Rechenarbeit bleiben, man muss wissen, was man dabei tut und damit erreichen kann.
-----------
Dass beim Horner-Schema überall -1 abzuziehen ist (!) [du meinst wohl 1], ist mir nicht geläufig, ich weiss nicht, woher du das bezogen hast (das wird auch deinen Fehler verursacht haben).
Erst NACH der Polynomdivision hat das verbleibende Polynom (der Quotient) einen um 1 erniedrigten Grad.
----------
Zu deinem zweiten Beispiel:
Nach dem Abspalten des Faktors 2 ist das Polynom normiert (der Koeffizient des Gliedes mit der höchsten Potenz ist 1) und das absolute Glied beträgt +15
Somit können ganzzahlige Nullstellen nur Teiler von 15 sein, somit plus/minus 1, 3, 5, 15
Fange also einmal mit +1 an ...
Horner liefert (wenn erfolgreich, die letzte Zahl muss 0 sein) dann ein Polynom vom Grad 3.
Nun geht es analog weiter ...

mY+
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Wie man sieht, hat dies doch mit rationalen Koeffizienten zu tun.

Hier sollte es "reelle" Koeffizienten heißen, denn ganzrationale Funktionen über besitzen reelle Koeffizienten. Die Funktionen heißen deshalb ganzrational, weil sie aus der Variablen und reellen Zahlen iterativ allein durch die ganzrationalen Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation erzeugt werden können. Wenn auch noch die Division zugelassen wird, entstehen die rationalen Funktionen über .

Zitat:
Original von mYthos
aber dazu gesagt, dass es auch komplexe Lösungen geben kann (!).

Du meinst wohl nicht-reelle komplexe Lösungen, denn auch reelle Zahlen sind ja komplex.

Zitat:
Original von mYthos
Die Kenntnis - zumindest die Grundlagen - über komplexe Zahlen sind auch in der Schulmathematik erforderlich!

Ich war vor einigen Jahrzehnten selber einmal Schüler und bekomme als Lehrer sämtliche Entwicklungen und "Fortschritte" der Schulmathematik und ihrer Didaktik unmittelbar mit. In meinem Bundesland waren die komplexen Zahlen während dieser Zeit nie Unterrichtsstoff. Ich selber habe sie daher - offiziell jedenfalls - zum ersten Mal an der Universität kennengelernt. In andern Bundesländern und in felici Austria mag das anders sein.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nochmals zum Koeffizientenvektor: Wenn man diese verwendet kann man eine Polynomdivision mit dem Schiebe-Vektor des Nenners genau wie bei einer Zahlendivision durchführen. Nur die Überträge fehlen. Das geht schön mechanisch und die leidigen Potenzen von x fallen mitsamt Potenzüberlegungen fallen weg.



code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
[4,  -2,   0,  1, -3] 
[4,   0,  12,  0,  0]
---------------------------
     [-2, -12, 1, -3] 
     [-2,   0, -6, 0]
----------------------------
          [ -12, 7,-3] ...


somit ist garantiert, dass bei der Subtraktion immer ein "Partner drübersteht". smile

Polynomdivision mit einem Linearfaktor macht man mit Horner, das ist bequemer und liefert im Falle des Nichterfolges ( geht nicht auf ! ) zusätzlich den Funktionswert an der verwendeten Stelle.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold
Ja, klar, so ist es (wenn es genau sein soll).
Ich habe 1959 an einem RG (Realgymnasium) maturiert, da gehörten die komplexen Zahlen zum Unterrichtsstoff.
Es kann natürlich sein, dass es im gymnasialen bzw. neusprachlichen Zweig anders war.
Allerdings sind bei uns in den jetzigen Schulformen und auch im technischen Bereich die komplexen (auch nicht reellen! Big Laugh ) Zahlen durchaus vertreten, wie es bisher bei meinen Schülern zu beobachten war.

mY+
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mal noch ein paar Anmerkungen dazu:

Zitat:
Original von Thisor
Hierzu hätte ich eine Frage: laut dem Erklär-Video ist die Zahl (x1) meist zwischen 3 und -3.
Gibt's da ein Tipp dazu wie man im worst-case das 6-mal zu probieren umgehen kann?

Das Erklärvideo, auf das du hier Bezug nimmst, kenne ich nicht, aber es scheint doch eine Menge Halbwissen zu vermitteln oder doch zumindest zu suggerieren:

Nur weil bei derartigen "Nullstellen-Raten-Aufgaben" an der Schule es meistens der Fall ist, ist das keine gesicherte mathematische Erkenntnis, sondern allenfalls eine durch statistische Auswertung von Schulbuchaufgaben gewonnene empirische Eigenschaft. smile

Von "worst-case" kann hier keine Rede sein, es ist ein außerordentliches "Schwein gehabt" bzw. treffender "Aufgabe ist wohlwollend konstruiert", wenn es mit so wenigen Versuchen klappt.

Generell basiert das Rateverfahren auf folgenden, tatsächlich mathematisch gesicherten Überlegungen, einen Teil hat mYthos oben indirekt angesprochen:

Zitat:
Für eine algebraische Gleichung -ter Ordnung mit ganzzahligen Koeffizienten gilt:
a) Jede rationale Lösung ist auch ganzzahlig.
b) Jede ganzzahlige Lösung ist Teiler von .
c) Im Fall ist nicht garantiert, dass überhaupt rationale (und damit gemäß a) automatisch auch ganzzahlige) Lösungen existieren!

D.h., Punkt b) macht nur Sinn im Existenzfall dieser ganzzahligen Lösungen! b) bedeutet aber auch: Hat man alle Teiler - auch die negativen! - von abgeklappert, und dabei keine Lösungen gefunden, so sind wir bei dem in c) erwähnten ungeliebten Fall gelandet. Das ist der Regelfall, wenn man die Koeffizienten zufällig auswürfelt, aber der Ausnahmefall bei "konstruierten" Schulbuchaufgaben. Big Laugh

Was tun im Fall c) ? Nun, für n=3 und n=4 hält die Theorie auch noch (allerdings ziemlich horrend aufwändige) Lösungsformeln bereit, für bleiben i.d.R. nur noch numerische Näherungsverfahren. Für den Schulalltag wären die dann auch schon für und Fall c) angebracht.
Thisor Auf diesen Beitrag antworten »

Ich arbeite mich mal von oben nach unten ab, da es doch etwas viel ist:

@Dopap: den ersten Beitrag kann ich leider nicht ganz nachvollziehen, da mir - wie ich vermute - einfach die Grundlagen fehlen. Vektoren sind mir bekannt und verstehe auch den Zusammenhang damit. Allerdings verstehe ich diesen Teil nicht:

"allerdings muss dann wie im Stellenwertsystem die Null eingeführt werden.
d.h. alle Potenzen die nicht vorkommen müssen mit der Null als Faktor aufgeführt werden"

Woran erkenne ich alle Potenzen, die nicht vorkommen? Ich würde sagen bis auf 8x sind alles Potenzen, jedoch taucht nach der 2 bereits die erste 0 auf und nach -3 gleich 3 weitere nullen usw.

@mYthos: Die Sache mit dem Taschenrechner gebe ich dir vollkommen recht. Ich habe jetzt bei meinem nicht nachgeschaut, aber es ist gutmöglich das der das auch lösen könnte. Ich habe gemerkt, dass ich jemand bin, der viel nachfragt und erst ruhe geben kann, wenn ich das gesamte Konzept verstanden habe. Daher bin ich auch froh, dass du nochmal darauf eingegangen bist :-).
Zum Horner-Schema: Ich habe mich unglücklich ausgedrückt. Tue mich noch etwas schwer mit der Terminologie. Ich meinte 1 abziehen und das man dies auch erst nach dem Schema macht.
Somit hast du meine Frage beantwortet, danke.

Wenn ich das so mache wie ich es gestern schrieb, komme ich auf das gestrige Ergebnis. Denke hierzu muss ich erstmal das verstehen, was Dopap meinte.
Ich werde erst nachher wieder dran sitzen können. Dann kann ich auch sagen, ob ich es bis dahin verstanden habe.

@Dopap zu deinem zweiten Beitrag: auch hier kann ich mich erst heute Abend mehr damit beschäftigen und berichten, ob das anschließend einleuchtend für mich war smile

@HAL 9000: Erstmal danke für die Anmerkung!
Ich muss zugeben das ich erst nach meinem Beitrag gesehen habe, dass noch viel mehr Videos dazu gibt, die ich mir alle noch nicht ansehen konnte. Vielleicht kann ich dort noch etwas Wissen aneignen und somit vorsichtiger bzw. korrekter meine Aussagen treffen.

In diesem Sinne melde ich mich heute Abend nochmal, hoffentlich konzentrierter, mit mehr Wissen und Lösungen! Wink
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thisor




es fehlt
Thisor Auf diesen Beitrag antworten »

Aah Big Laugh , alles klar! Konnte somit die Aufgabe lösen:
x1= 1 ; x2 = 1 ; x3 = -3 ; x4 = -5
y = 2 (x-1) (x-1) (x+3) (x+5) = 2 (x-1)^2 (x+3) (x+5)
Thisor Auf diesen Beitrag antworten »

Muss leider nachhaken um Verwirrungen vorzubeugen:
Bedeutet Absolutglied = (ich zitiere) "alle Potenzen die nicht vorkommen müssen mit der Null als Faktor aufgeführt werden"? Also die die vorkommen und die die nicht vorkommen?

Der Grund für meine Verwirrung ist, dass ich jetzt die Information aufgeschnappt habe das
Absolutglied = irgendeine Zahl ohne x ist.

Ich würde gerne noch folgendes in Erfahrung bringen wollen, die Frage bezieht sich auf die Substitutionsmethode. Diese brauche ich für die nächste Aufgabe und ist zugleich etwas, wovon ich noch nie gehört habe. So wie ich das jetzt aufgeschnappt habe, bedeutet es, dass eine gewisse Voraussetzung erfüllt sein muss. Und zwar: man darf nur 1x hoch 4 und 1x hoch 2 +(oder minus) irgendeine Zahl haben. Also quasi

Dann, und nur dann, ist die Voraussetzung erfüllt, um die Substitutionsmethode anwenden zu können.
Hat das so seine Richtigkeit?



edit: Also, Theoretisch sollte ja auch funktionieren.
Dann könnte ich ja für x^3 = z setzen
Thisor Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Abschluss würde ich mich freuen, wenn ihr sagen könntet wo mein Fehler liegt:

x1 =-1
1. reduziertes Polynom:
x2 = 3
Dann die Substitutionsmethode angewandt:
Diese mit 0 gleichgesetzt und aufgelöst zu
Anschließend in die pq-Formel eingesetzt:
x3 = 1,937253933
x4 =-13,93725393

Das stimmt aber nicht.
Korrekt wär's:
x1= -1
x2= 3
x3= -3
x4= Wurzel aus 3
x5= Wurzel aus -3

Ich check's nicht..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
Vorzeichenfehler!!!
Zitat:
Original von Thisor

Anschließend in die pq-Formel eingesetzt:
x3 = 1,937253933
x4 =-13,93725393

Anscheinend hast du hier falscherweise die Lösungen der quadratischen Gleichung bestimmt. unglücklich
Thisor Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vorzeichenfehler!!!
Tatsächlich..solche Fehler nerven... Forum Kloppe
Na gut, morgen werd ich's wiederholen, vielleicht komme ich noch auf x5 drauf.
Danke und gute Nacht!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist ein weiterer Vorzeichenfehler in deiner Rechnung, nämlich hier:

Zitat:
Original von Thisor

x1 =-1
1. reduziertes Polynom:

Tatsächlich ist , was
für den hinteren Faktor mit Substitution zur quadratischen Gleichung führt.
Thisor Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich hab die Aufgabe erneut angefangen und soweit bin ich auch.
Ich glaub, ich muss mir noch "Rücksubstitution" ansehen um die Aufgabe lösen zu können.

Ich hab nachher ein Vorstellungsgespräch, kann also etwas dauern bis ich hierzu eine Rückmeldung geben kann :-)


edit: mein Fehler war: ich hab, nachdem ich die Substitutionsmethode angewendet habe, einfach damit weiter gerechnet und dies als Lösung genommen. Der zweite Fehler war, nach dem Wurzel ziehen habe ich nur einen statt beide Werte genommen.
Verbessert und gelöst smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »