Partialbruchzerlegung von rationalen Funktionen

11.09.2017, 15:18	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung von rationalen Funktionen Hey Leute, ich will den Beweis für folgendes nachvollziehen, habe aber ein Problem: Seien f,g Polynome in K[x], g ungleich 0 und n eine positive ganze Zahl. Es gibt eindeutig bestimmte Polynome fi sodass $\begin{eqnarray} \frac{f}{g^{n} }=\sum\limits_{i=0}^{n} {\frac{f_{i}}{g^{i}}} \end{eqnarray}$ und fi=0 oder gr(fi)<gr(g). BEWEIS: Der Beweis der Existenz wird durch Induktion über n geführt und ist mir klar. Zur Eindeutigkeit: Angenommen es gibt eine weitere Zerlegung in der Form dann ist: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^{n} {\frac{f_{i}}{g^{i}}}=\sum\limits_{i=0}^{n} {\frac{f_{i}^{'}}{g^{i}}} \end{eqnarray}$ und auch $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^{n} f_{i} g^{n-i} = \sum\limits_{i=0}^{n} f_{i}{'} g^{n-i} \end{eqnarray}$ Wir nehmen an, esgäbe eine Zahl i mit fi ungleich fi'. Sei j die größte ganze Zahl mit dieser Eigenschaft. Dann ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^{j} f_{i} g^{n-i} = \sum\limits_{i=0}^{j} f_{i}{'} g^{n-i} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_{j}-f_{j}^{'}=g\sum\limits_{i=0}^{j} (f_{i}{'}-f_{i}) g^{j-i-1} \end{eqnarray}$ . Da der Grad von fj oder von fj' nicht kleiner als der Grad von g ist -> Widerspruch. Daher ist die Annahme falsch und die Zerlegung ist eindeutig. Ich verstehe nicht, wieso man die Summe bis j laufen lassen darf und die zwei Summen noch gleich sind. schliesslich ist fj ungleich fj' und es ist auch möglich, dass fi's kleineren Grades ungleich fi' sind. Ich hoffe mir kann das jemand erklären. Vielen Dank und LG!
11.09.2017, 15:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
(hat sich erledigt)
11.09.2017, 15:26	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
ebenfalls erledigt
11.09.2017, 15:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, wollen wir es dennoch ausführen. Das kann so begründet werden: Da $\begin{align} j \end{align}$ die größte derartige Zahl mit Ungleichheit $\begin{align} f_i\neq f_i' \end{align}$ , gilt somit $\begin{align} f_i=f_i' \end{align}$ für alle $\begin{align} i\geq j+1 \end{align}$ und damit auch $\begin{align} \sum_{i=j+1}^n f_i g^{n-i} = \sum_{i=j+1}^n f_i' g^{n-i} \end{align}$ . Durch Differenzbildung zu dem gegebenen $\begin{align} \sum_{i=0}^n f_i g^{n-i} = \sum_{i=0}^n f_i' g^{n-i} \end{align}$ folgt dann $\begin{align} \sum_{i=0}^j f_i g^{n-i} = \sum_{i=0}^j f_i' g^{n-i} \end{align}$ . Hätte man in den Ausführungen vielleicht etwas deutlicher machen können.
11.09.2017, 15:44	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
aach sonnenklar! Wäre ich ja nie drauf gekommen Vielen Dank

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