Fehler bei mir oder in der Musterlösung ? (Lagrange Multiplikator)

11.09.2017, 16:30

Mesut95

Fehler bei mir oder in der Musterlösung ? (Lagrange Multiplikator)

Meine Frage:
Hallo ich habe Folgende Aufgabe mit Lösung. Meine Lösung stimmt allerdings nicht ganz mit der Musterlösung.

Meine Ideen:
Meine Lösung :

$\begin{eqnarray*} L(x,y,k) = 4x^3 -3xy^2 +kx^2 +ky^2-k \end{eqnarray*}$

Die Partiellen Ableitungen sind :

$\begin{eqnarray*} L_x = 12x^2-3y^2+2kx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L_y = -6yx+2ky \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L_k = x^2+y^2-1 \end{eqnarray*}$

Aus I/II folgt :

$\begin{eqnarray*} \frac{12x^2-3y^2}{-6yx}=\frac{x}{y} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} +-\sqrt{6}x=y \end{eqnarray*}$

in III eingesetzt bekomme ich :

$\begin{eqnarray*} x= +- \frac{1}{\sqrt{7} } \end{eqnarray*}$

und nochmal in III eingesetzt kriege ich

$\begin{eqnarray*} y= +- \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7} } \end{eqnarray*}$

aus diesen x und y bekomme ich 4 Lösungen :

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{\sqrt{7} }, \frac{\sqrt{6} }{\sqrt{7} } ) ,(\frac{1}{\sqrt{7} }, -\frac{\sqrt{6} }{\sqrt{7} }), (-\frac{1}{\sqrt{7} }, \frac{\sqrt{6} }{\sqrt{7} } ) .(-\frac{1}{\sqrt{7} }, -\frac{\sqrt{6} }{\sqrt{7} }) \end{eqnarray*}$ .

Nun kommen wir zu k: Hier liegt mein Problem

II : $\begin{eqnarray*} -6yx=-2ky \end{eqnarray*}$ teilen durch -2y ergibt

$\begin{eqnarray*} 3x=k \end{eqnarray*}$ und nun den ersten Punkt einsetzen ergibt bei mir

$\begin{eqnarray*} k= \frac{3}{\sqrt{7} } \end{eqnarray*}$ doch in der Lösung steht
$\begin{eqnarray*} k= - \frac{3}{\sqrt{7} } \end{eqnarray*}$ was ist nun richtig ?

11.09.2017, 16:58

IfindU

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Sehe ich richtig, dass dich nur stört, dass der Wert von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ anders ist?

Edit: Wenn ja. Es ist irrelevant. Du hast die Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 - 1 = 0 \end{eqnarray*}$ umgestellt und die linke Seite gewichtet. Die Musterloesung hat offenbar $\begin{eqnarray*} 0 = 1 - x^2 -y^2 \end{eqnarray*}$ umgeformt und die rechte Seite gewichtet.

Es gibt einen Grund warum der Satz aussagt, dass es ein solches $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gibt, aber sonst keine Aussagen darueber trifft. Man haette auch $\begin{eqnarray*} k ( x^2 + y^2 -1)^2 \end{eqnarray*}$ nehmen koennen. Man haette wieder ein anderes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ bekommen.

11.09.2017, 16:59

mYthos

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Für $\begin{eqnarray*} k_{3,4} \end{eqnarray*}$ (üblicherweise mit $\begin{eqnarray*} \lambda .. \end{eqnarray*}$ bezeichnet) sind beide Vorzeichen möglich!
Dies folgt aus $\begin{eqnarray*} x^2 = \frac 1 7; \ y^2 = \frac 6 7 \text{ und }k = 3x \end{eqnarray*}$

mY+

11.09.2017, 17:05

Mesut95

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achso ja stimmt. Dann stimmt ja alles müsste nur genauer hinschauen. Danke euch beiden.

@IfindU : Wegen der einen Diffeo. Aufgabe. Ich habe eine mail geschrieben an meinen Prof. und von Ihn kam nichts mehr unglücklich

11.09.2017, 17:08

IfindU

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Ist vermutlich damit beschaeftigt dem armen Assistenten etwas mehr Sorgsamkeit einpflanzen Big Laugh

11.09.2017, 17:13

HAL 9000

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@Mesut95

Es fällt noch auf, dass du mit deinem hastigen Vorgehen

Zitat:

Original von Mesut95
Aus I/II folgt :

$\begin{eqnarray*} \frac{12x^2-3y^2}{-6yx}=\frac{x}{y} \end{eqnarray*}$

die Extremalkandidaten mit $\begin{align*} y=0 \end{align*}$ einfach so unterschlagen hast - das ist dir hoffentlich bewusst.

11.09.2017, 21:19

Mesut95

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Stimmt das habe ich übersehen. Wie sieht man die Punkte ein? Sieht man eigentlich durch genaues hingucken oder?

11.09.2017, 22:24

HAL 9000

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Wie ich sagte, du bist hastig statt gründlich vorgegangen: Du hast einfach die richtig umgestellte erste Gleichung $\begin{align*} -2kx = 12x^2-3y^2 \end{align*}$ durch die richtig umgestellte zweite Gleichung $\begin{align*} -2ky = -6yx \end{align*}$ dividiert ... halt, Moment: Das dürfen wir doch nur, wenn dieser Divisor ungleich Null ist!!!

Also musst du zusätzlich zu deinen Überlegungen untersuchen, was in diesem anderen Fall $\begin{align*} -2ky = -6yx = 0 \end{align*}$ passiert, ob da auch noch Lösungen des Systems lauern.

11.09.2017, 23:26

mYthos

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Die Division ist erst NACH Fallunterscheidung durchzuführen (wenn der Nenner Null ausgeschlossen ist).
Ausgehend von dem System

$\begin{eqnarray*} 12x^2 - 3y^2 = 2 \lambda x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -6xy = 2\lambda y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$
------------------------------------------------

folgt aus der zweiten Gleichung $\begin{eqnarray*} y = 0 \ \vee \lambda = -3x \end{eqnarray*}$

und mit $\begin{eqnarray*} y = 0 \ \to x = \pm 1 \ \to \lambda = 6x \end{eqnarray*}$ (aus der ersten Gleichung, mit x ungleich Null)

mY+

12.09.2017, 10:18

Mesut95

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Jo danke an euch beiden.
Also die Rechnung die ich gemacht habe gilt nur für y ungleich 0. Jetzt schaue ich mir den fall y=0 an wenn y=0 ist
Wird die 2.Gleichung 0.
die 3te gleichung wird x^2=1 woraus sich folgern lässt das x=-+1 ist.
Und dann die x werte in die I gleichung eingesetzt und das wars. So müsste es stimmen oder

12.09.2017, 10:41

HAL 9000

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Hier

Zitat:

Original von HAL 9000
was in diesem anderen Fall $\begin{align*} -2ky = -6yx = 0 \end{align*}$ passiert

wäre auch $\begin{align*} y\neq 0 \end{align*}$ denkbar, dann aber mit $\begin{align*} x=0,k=0 \end{align*}$ , was in die erste Gleichung eingesetzt sofort $\begin{align*} y=0 \end{align*}$ , also Widerspruch ergibt. Das heißt, hier ist zwar keine Lösung mehr verborgen, dennoch ist dieser Zweig der Vollständigkeit halber mit zu betrachten (man weiß ja nie)!

Das wären die Betrachtungen, um deinen Weg zu "retten".

Ich favorisiere aber auch mYthos' Weg, aus der zweiten Gleichung gemäß Nullstellensatz eine Fallunterscheidung abzuleiten - dort ist etwa die gerade eben noch nötige Ergänzung nicht nötig.

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