Frage zu Residuensatz

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Geminio Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Residuensatz
Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine kurze Frage zur Anwendung des Residuensatzes, über den ich gerade etwas verwirrt bin. Wenn man damit ein Integral berechnen möchte, wie mache ich das, wenn das Integral von 0 zu pi? Alle Beispiele, die ich bisher gesehen habe, waren von 0 zu 2pi.

Meine Ideen:
Kann ich da einfach durch zwei teilen, um das richtige Ergebnis zu bekommen?

Danke für Hinweise!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Geminio
wie mache ich das, wenn das Integral von 0 zu pi? Alle Beispiele, die ich bisher gesehen habe, waren von 0 zu 2pi.

Auf Basis solcher vagen, missverständlichen Andeutungen macht man keine Mathematik. Nenne bitte vollständig das Integral, um das es hier gehen soll.
Geminio Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist ein Beispiel:

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, du willst dieses reelle Integral mit dieser Technik auf ein Integral über einen geschlossenen Integrationsweg (in dem Fall den Einheitskreis) zurückführen.

Und nun hast du das Problem, dass du nach dieser Transformation jetzt nur einen Halbkreis hast? Das lässt sich nicht einfach lösen, in der Allgemeinheit schon gar nicht. Bei Vorhandensein gewisser Symmetrien der Integrandenfunktion ist vielleich von Fall zu Fall machbar, eine Verbindung zum Vollkreis herzustellen, womöglich auch bei deiner Beispielfunktion ... ich sehe es aber momentan nicht.
Geminio Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe, ich bin noch ein paar andere Beispiele durchgegangen und ich glaube, langsam wird mir diese Technik etwas klarer. Danke für deinen Hinweis! smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nach Erweitern mit erhält man



Beim ersten Summanden wurde im Nenner noch der trigonometrische Pythagoras verwendet. Man kann dieses Integral durch die Substitution einfach lösen. Wenn man will, kann man das zweite Integral mit dem Residuensatz behandeln:



Man integriere dazu



über den zweimal positiv durchlaufenen Einheitskreis



Die Singularitäten im Innern des Einheitskreises befinden sich bei und mit den Residuen beziehungsweise .

Ob das hier wirklich die bessere Methode ist oder man auch für das zweite Integral auf reelle Methoden zurückgreift oder gleich das Originalintegral rein reell löst, mag jeder selber entscheiden.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold


[...]



über den zweimal positiv durchlaufenen Einheitskreis


Angesichts dessen ist der erste Schritt der "Intervallverdoppelung" von zu gar nicht nötig: Bezogen auf das erste Integral ist das dann ganz normal ein einfach durchlaufener Einheitskreis.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Das war der zwanghafte, aber überflüssige Versuch, etwas ins "richtige" Intervall zu zwängen, wie es halt im Standard-Verfahren vorkommt.
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