Komplexer Exponent

12.09.2017, 21:48

Midir

Komplexer Exponent

Meine Frage:
Wie löst man Gleichungen mit Komplexen Exponenten?
Was ist die Lösung zu

x^(a+b*i)

?

wobei i die imaginäre Einheit: Wurzel aus -1 ist

Meine Ideen:
Mir ist bewusst dass das Ergebnis ein Punkt in der Komplexen Zahlen-Ebene sein wird, und das der Betrag(Länge) jenes Vektors der vom Nullpunkt zu dem Ergebnis hin führt x^a entspricht. Ich muss nur noch seine Richtung, also den Winkel der vom Vektor und der x-Achse eingeschlossen wird, in Erfahrung bringen, welcher ja irgendwie mit dem Imaginär-Teil des Exponenten zusammenhängen muss.

12.09.2017, 22:15

ML_

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RE: Komplexer Exponent
Hallo,

Zitat:

Meine Frage:
Wie löst man Gleichungen mit Komplexen Exponenten?
Was ist die Lösung zu

x^(a+b*i)

Was heißt denn für Dich "lösen"? Willst Du den Wert einer solchen Zahl berechnen? Zu lösen gibt es hier nämlich nichts, da dort nur ein Ausdruck, und nicht etwa eine Gleichung/Ungleichung oder andere Aussage steht.

Grundsätzlich bringst Du mit komplexwertigen Exponenten die trigonometrischen Funktionen mit ins Spiel, denn es gilt:
$\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^{ix} = \cos(x) + i \cdot \sin(x) \end{eqnarray*}$ ,
und auch weiterhin gilt:
$\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^{a+b} = \mathrm{e}^{a} \cdot \mathrm{e}^{b} \end{eqnarray*}$ ,

Beispiel: $\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^{2+\frac{\pi}{3} i} = \mathrm{e}^{2} \cdot \mathrm{e}^{\frac{\pi}{3} i} = \mathrm{e}^{2} \cdot \left[\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \mathrm{i} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right] = \mathrm{e}^{2} \cdot \left[\frac{1}{2} + \mathrm{i} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right] = \frac{\mathrm{e}^2}{2} + \mathrm{i} \cdot \mathrm{e}^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Michael

12.09.2017, 23:08

mYthos

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Ob hier eine Umformung Sinn macht, hängt davon ab, was gefragt ist, denn der Term ist bereits relativ einfach.
Allenfalls kann man einen reellen Faktor abspalten bzw. dann den Real- und Imaginärteil bestimmen:

$\begin{eqnarray*} z = x^{a+bi} = x^a \cdot x^{bi} = x^a \cdot e^{i b \ln x} \end{eqnarray*}$

Nun liefert der Betrag $\begin{eqnarray*} x^a \end{eqnarray*}$ und das Winkelargument $\begin{eqnarray*} b \ln x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = x^a[\cos (b \ln x) + i \sin (b \ln x)] \end{eqnarray*}$

mY+

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