Grenzwertberechnung Logarithmus Kettenregel

12.09.2017, 22:03

Elke333

Grenzwertberechnung Logarithmus Kettenregel

Meine Frage:
Gesucht ist der Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{(log n)^{2}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt{n}}{(log n)^{2}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n^{\frac{1}{2}} \times (ln n)^{2} } {(ln 2)^{2}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$
daher kommt nun L'Hospital zur Anwendung, also ableiten; ich weiß, dass ich nun die Kettenregel anwenden muss, weiß aber nicht wie ich
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{ln 2}{ln n}\right)^{2} \end{eqnarray*}$ ableiten muss;

12.09.2017, 22:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von Elke333
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt{n}}{(log n)^{2}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n^{\frac{1}{2}} \times (ln n)^{2} } {(ln 2)^{2}} \end{eqnarray*}$

Dieses Gleichheitszeichen müsstest du mal näher erläutern. Augenzwinkern

Wie auch immer: Es ist $\begin{align*} \frac{\sqrt{n}}{(\log(n))^2} = \left( \frac{n^{\frac{1}{4}}}{\log(n)} \right)^2 \end{align*}$ , und man kann ja erst mal schauen, wie sich der Term unter dem Quadrat für $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ verhält.

12.09.2017, 22:39

ML_

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RE: Grenzwertberechnung Logarithmus Kettenregel
Hallo,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{(\log n)^{2}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt{n}}{(\log n)^{2}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n^{\frac{1}{2}} \times (ln n)^{2} } {(ln 2)^{2}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$
daher kommt nun L'Hospital zur Anwendung, also ableiten;

Das ist nicht ganz falsch gedacht, aber Zahlenfolgen kannst Du zunächst einmal nicht ableiten, da die Definitionsmenge letztlich nur natürliche Zahlen ( $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ) sind und nicht etwa reelle Zahlen.

Du kannst Dich aber natürlich fragen, was der Grenzwert von
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{(\log x)^{2}} \end{eqnarray*}$
ist und dann überlegen, welche Aussagen Du im Hinblick auf die oben genannte Folge ableiten kannst.

Da würdest Du tatsächlich den Satz von de l'Hospital anwenden. Dazu musst Du den Zähler und den Nenner getrennt ableiten.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{(\log x)^{2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}}{2 \cdot \frac{1}{x}} = \frac{1}{4} \lim_{x \to \infty} \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{\frac{1}{x}}= \frac{1}{4} \lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Hierbei habe ich $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ als natürlichen Logarithmus aufgefasst. Von Konvergenz ist dort aber nichts zu sehen.

Viele Grüße
Michael

13.09.2017, 09:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von ML_
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{(\log x)^{2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}}{2 \cdot \frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

Kettenregel beachten! Daher ja auch mein Vorschlag mit dem Quadrat, um dieses Problem im Nenner zu umschiffen.

13.09.2017, 16:42

ML_

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von ML_
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{(\log x)^{2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}}{2 \cdot \frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

Kettenregel beachten! Daher ja auch mein Vorschlag mit dem Quadrat, um dieses Problem im Nenner zu umschiffen.

Ja, danke.
Angefangen hatte ich die Kettenregel ja mit dem Faktor 2, habe aber den Logarithmus nicht mehr aufgeschrieben. Das ist natürlich ein grober Schnitzer.

Jetzt hoffentlich ohne Fehler:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{(\log x)^{2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}}{2 \cdot \frac{\log x}{x}} = \frac{1}{4} \lim_{x \to \infty} \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{\frac{\log(x)}{x}}= \frac{1}{4} \cdot \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\log x} \end{eqnarray*}$

Jetzt nochmal de l'Hospital:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\log x} = \frac{1}{4} \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}}{\frac{1}{x}} = \frac{1}{8} \lim_{x \to \infty} \sqrt{x} = \infty \end{eqnarray*}$

13.09.2017, 17:12

HAL 9000

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Ein Punkt noch: Dein "nicht ganz falsch gedacht" bezogen auf

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{(\log n)^{2}} = \lim_{n\to\infty } \frac{n^{\frac{1}{2}} \times (ln n)^{2} } {(ln 2)^{2}} \end{align*}$

kann ich nur so deuten, dass du damit die richtige Teiltermumformung $\begin{align*} \sqrt{n} = n^{\frac{1}{2}} \end{align*}$ meinst. Der Rest der offenkundig verwendeten Umformung, also

$\begin{align*} \frac{1}{(\log n)^{2}} \stackrel{?}{=} \frac{(\ln n)^{2}}{(\ln 2)^{2}} \end{align*}$

ist nämlich Humbug, egal welche Basis bei dem Logarithmus links gemeint ist. Augenzwinkern

13.09.2017, 19:33

ML_

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Hallo,

Zitat:

Original von HAL 9000
Ein Punkt noch: Dein "nicht ganz falsch gedacht" bezogen auf

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{(\log n)^{2}} = \lim_{n\to\infty } \frac{n^{\frac{1}{2}} \cdot (\ln n)^{2} } {(\ln 2)^{2}} \end{eqnarray*}$

kann ich nur so deuten, dass du damit die richtige Teiltermumformung $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} = n^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ meinst.

Ich meinte die die grundsätzliche Verwendung der Regel von de l'Hospital, also den Schluss von
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{x}}{(\log x)^{2}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
auf
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{(\log n)^{2}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Ob Elke diesen Schritt bewusst vorgenommen hat oder nur zufällig (weil sie gar nicht gemerkt hat, dass gar keine differenzierbare Funktion vorliegt) kann ich natürlich nicht sagen.

Viele Grüße
Michael

13.09.2017, 20:24

elke_*

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RE: Grenzwertberechnung Logarithmus Kettenregel
Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt{n}}{(log n)^{2}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n^{\frac{1}{2}} \times (ln n)^{2} } {(ln 2)^{2}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$
daher kommt nun L'Hospital zur Anwendung, also ableiten; ich weiß, dass ich nun die Kettenregel anwenden muss, weiß aber nicht wie ich
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{ln 2}{ln n}\right)^{2} \end{eqnarray*}$ ableiten muss;[/quote]

Vielen Dank schon mal für die Antworten (ich bin die selbe Elke, jetzt mit Anmeldung), ich sehe sie mir am Wochenende an, eine Sache wollte ich aber noch klarstellen, tut mir leid für die Verwirrung:

log n meint log mit Basis 2, diesen habe ich dann in den natürlichen Logarithmus umgewandelt: ln n.

13.09.2017, 20:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von elke_*
log n meint log mit Basis 2, diesen habe ich dann in den natürlichen Logarithmus umgewandelt: ln n.

Hast du aber eben nicht: Wenn du $\begin{align*} \log_2(n) = \frac{\ln(n)}{\ln(2)} \end{align*}$ einsetzt, dann ist

$\begin{align*} \frac{\sqrt{n}}{(\log_2(n))^2} = \frac{\sqrt{n}\cdot (\ln(2))^2}{(\ln(n))^2} \end{align*}$

statt des von dir geschriebenen Quotienten. unglücklich

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