Polynom mit rationaler Nullstelle(n) ?

13.09.2017, 14:17	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom mit rationaler Nullstelle(n) ? hat das Polynom $\begin{eqnarray} y=x^3-\frac {20}{3}x^2+\frac {23}{3}x-\frac {34}{3} \end{eqnarray}$ eine rationale Nullstelle? meine Ideen: mit dem KGV = 3 multiplizieren liefert bezüglich der Nullstellen die äquivalente Form $\begin{eqnarray} 3 x^3-20x^2 +23 x-34=0 \end{eqnarray}$ was wegen der führenden Potenz von $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ mindestens eine Nullstelle hat. Irgend etwas raten geht schlecht, es stört die 3 vor $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ . Dann muss eben ein solches Polynom her. Die 3 wird auf $\begin{eqnarray} 3^3 \end{eqnarray}$ mit dem Faktor $\begin{eqnarray} 3^2=9 \end{eqnarray}$ gebracht: $\begin{eqnarray} 3^3x^3-180 x^2+207 x - 306=0 \end{eqnarray}$ jetzt bietet sich die Substitution $\begin{eqnarray} 3x =z \quad \text{oder}\quad z=\frac x3 \end{eqnarray}$ an, was zu $\begin{eqnarray} z^3 -20z^2+69z-306=0 \end{eqnarray}$ führt. Die Suche nach ganzzahliger Lösung als Teiler von $\begin{eqnarray} -306 \end{eqnarray}$ wird mit $\begin{eqnarray} z=17 \end{eqnarray}$ fündig was wiederum $\begin{eqnarray} x_0=\frac{17}{3} \end{eqnarray}$ bedeutet.
13.09.2017, 14:32	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch deine Frage schon selbst beantwortet
13.09.2017, 14:42	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
so soll es idealerweise auch sein. Also keine Einwände ? dann ab ins Archiv falls mal jemand danach sucht.
13.09.2017, 14:47	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Einwände. Ergänzend schau mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%B...ale_Nullstellen Das sagt dir ausgehend von $\begin{eqnarray} 3 x^3-20x^2 +23 x-34=0 \end{eqnarray}$ direkt, dass eventuelle rationale Nullstellen von der Form $\begin{eqnarray} p/q \end{eqnarray}$ sein müssen mit $\begin{eqnarray} p\vert 34 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q\vert 3 \end{eqnarray}$ . Dann braucht man weniger Umformen.

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