Harmonisches, arithmetisches Mittel

13.09.2017, 19:20

momo.li

Harmonisches, arithmetisches Mittel

hallo freunde,

ich lerne Momentan für eine Klausur an der fh und bin grad beim Thema arithmetisches /harmonisches mittel. hatte es bis hierhin eigentlich ganz gut verstanden, verstehe aber folgende aufgabe nicht bzw. verstehe nicht, warum hierbei das arithmetische mittel verwendet wird.

so wie ich es bis jetzt verstand, verwende ich das harmonische mittel, wenn sich die Anteile auf die Merkmalssumme, also die zählergröße beziehen. weiß nicht genau, wie ich die Graphik deuten soll, bzw was hierbei Zähler und nennergröße ist, um das einordnen zu können. die Lösung sagt aus, dass hierbei das arithmetische mittel zu verwenden ist. würde sagen, da sich hierbei die links abgebildeten Anteile auf die anzahl der Friseurbesuche beziehen, also zählergröße, wenn ich von besuche/einwohner ausgehe. würde demnach das harmonische mittel verwenden. ist anscheinend laut Lösung falsch.

ist vielleicht jemand so lieb und kann mir erläutern, wo mein Fehler ist? deute ich die Graphik falsch?

liebste grüße momo

14.09.2017, 01:49

mYthos

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Ich will nicht ständig das PDF aufmachen, daher hier mal das Bild:

[attach]45269[/attach]

Bei a) handelt es sich um das gewichtete arithmetische Mittel, d.h. die Anzahl der Besuche (2, 4, 7) werden nach ihren relativen Häufigkeiten (Prozentzahlen 0.20, 0.45, 0.35) gewichtet.
Die Summe der relativen Häufigkeiten ergibt 1

m1 = (2*0.2 + 4*0.45 + ...); m2 = ....

Die Frage b) kann ich (!) so nicht eindeutig beantworten, weil nicht bekannt ist, wie oft die restlichen 35% der Frauen zum Friseur gehen, mehr oder weniger oft als 7 Mal, darüber kann man nur mutmaßen.

Vielleicht kann noch jemand dazu etwas sagen.

mY+

14.09.2017, 06:30

Dopap

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$\begin{eqnarray*} m_1, m_2 \end{eqnarray*}$ nennt man in der Statistik die Erwartungswerte da die relative Häufigkeit als Besuchswahrscheinlichkeit angesehen werden kann.

harmonisches Mittel ist hier fehl am Platz.

Beispiel zu beiden Mittelwerten:

1. ein Autofahrer fährt ertst 2 h mit 100 km/h und dann 3 h mit 120 km/h.
Seine Durchschnittsgeschwindigkeit ist das gewichtete arithmetrische Mittel bezüglich der Zeit. $\begin{eqnarray*} \bar v =\frac {g_1\cdot v_1+g_2\cdot v_2}{g_1+g_2} \end{eqnarray*}$
Die Gewichte $\begin{eqnarray*} g_i \end{eqnarray*}$ sind die Einzelzeiten

2. ein anderer fährt erst 100 km mit 80 km/h und dann 200 km mit 120 km/h. Das gewichtete harmonische Mittel ist dann

$\begin{eqnarray*} \bar v =\frac {g_1+g_2}{\tfrac {g_1}{v_1}+\tfrac {g_2}{v_2}} \end{eqnarray*}$ wobei die Gewichte $\begin{eqnarray*} g_i \end{eqnarray*}$ die Teilstrecken sind.

Wenn man es genauer anschaut steht in beiden Fällen nix anderes wie Gesamtstrecke durch Gesamtzeit Augenzwinkern

kurz: beim gewichteten arithmetischen Mittel wird über die Nennermaßeinheit von Verhältniszahlen gemittelt, andernfalls über der Zählermaßeinheit.

14.09.2017, 14:49

momo.li

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verstehe, also könnte ich, um mir eine Eselsbrücke zu schlagen, pauschal sagen, dass die hier erstmal mit der Einheit Einwohner/besuche arbeiten und da hierbei nach der durchschnittlichen Anzahl von besuchen gefragt wird - also nach der nennereinheit, ich dann das arithmetische mittel verwenden muss? und da hierbei die relativen Häufigkeiten angegeben sind dann das gewichtete arithmetische mittel herangezogen werden muss?

dass ich da nur die Systematik dahinter verstehe..

vielen lieben dank für die antworten bis hierhin! smile

14.09.2017, 16:30

Dopap

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Zitat:

Original von momo.li
verstehe, also könnte ich, um mir eine Eselsbrücke zu schlagen, pauschal sagen, dass die hier erstmal mit der Einheit Einwohner/besuche arbeiten [...]

die Einheit ist hier Besuche / Einwohner !!!

demnach wird die durchschnittliche Häufigkeit pro Einwohner ermittelt !!

aber meine Beispiele sind allgemein gemeint, um den Unterschied der Mittelwerte zu verdeutlichen und nicht in die Mittelwertfalle zu tapsen,
aber sind nicht so sehr auf den Erwartungswert einer Zufallsgröße gemünzt. Also nicht überstrapazieren !

Eine Zufallsgröße und Ihre Verteilung ist in diesem Falle eine Tabelle von Werten und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. z.B. $\begin{eqnarray*} B=\text{Anzahl der Frisörbesuche} \end{eqnarray*}$ (je Einw. )
und der Erwartungswert von B ist

$\begin{eqnarray*} E(B)=\sum_{i=1}^n p_i\cdot b_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ =Merkmalsausprägung und $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ als zugehörige Wahrscheinlichkeit und n = Anzahl der Tabellenspalten.

Die $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ sind die Gewichte mit der Summe = 1. Deshalb "fehlt" der Nenner.

zu 2.) ist mir auch noch nichts gescheites eingefallen.

18.09.2017, 19:15

momo.li

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okay, hab's verstanden!

vielen lieben dank für die ausführlichen antworten, hat mir sehr geholfen!

lg

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