Punktweise und Gleichmäßige Konvergenz

13.09.2017, 21:16

LauraundLisa

Punktweise und Gleichmäßige Konvergenz

Meine Frage:
Hi ich soll die Funktionsfolge

$\begin{eqnarray*} f_{n}(x)=exp(\frac{n|x|+2017}{n|x|+1} ) \end{eqnarray*}$

nach Punktweise Konvergenz Prüfen und nach Gleichmäßige Konvergenz im INtervall I=R und I=[1,unendlich)

Meine Ideen:
Die Punktweise Konvergenz habe ich ganz einfach hinbekommen. DIe FUnktionsfolge Konvergiert gegen die Grenzfunktion

f(x)= e falls x ungleich 0
e^2017 falls x =0 ist

kann ich nun wegen der Gleichmäßigen Konvergenz so argumentieren :

Die Funktion Konvergiert nicht Gleichmäßig, da die Grenzfunktion an der stelle x=0 nicht Stetig ist ?

Weil wenn di Grenzfunktion Stetig wäre dann könnten wir ja daraus folgern das die FUnktionsfolge Stetig ist oder ?

13.09.2017, 21:31

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Punktweise und Gleichmäßige Konvergenz

Zitat:

Original von LauraundLisa
kann ich nun wegen der Gleichmäßigen Konvergenz so argumentieren :

Die Funktion Konvergiert nicht Gleichmäßig, da die Grenzfunktion an der stelle x=0 nicht Stetig ist ?

Zumindest bei der gleichmäßigen Konvergenz auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ kannst du das so machen: Die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen ist stetig.

Bei $\begin{eqnarray*} I=[1,\infty) \end{eqnarray*}$ musst du dir etwas anderes überlegen, denn die Unstetigkeitsstelle der Grenzfunktion liegt ja gar nicht in diesem Intervall.

Zitat:

Original von LauraundLisa
Weil wenn di Grenzfunktion Stetig wäre dann könnten wir ja daraus folgern das die FUnktionsfolge Stetig ist oder ?

Nein, die Umkehrung gilt nicht. (Eine Folge unstetiger Funktionen kann gleichmäßig gegen eine stetige Funktion konvergieren.)

13.09.2017, 21:42

Lauraundlisa

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Punktweise und Gleichmäßige Konvergenz
Hallo,

Gilt aber die Umkehrung des Satzes :

Eine Funktionsfolge die Gleichmäßig Konvergiert und deren Glieder alle Stetig sind dessen Grenzfunktion ist ebenfalls Stetig ?
Kann man also sagen wenn die Grenzfunktion nicht Stetig ist so ist die Funktionsfolge nicht Gleichmäßig Konvergent ?

13.09.2017, 21:53

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Punktweise und Gleichmäßige Konvergenz
Die Umkehrung von

Zitat:

Original von Lauraundlisa
Eine Funktionsfolge die Gleichmäßig Konvergiert und deren Glieder alle Stetig sind dessen Grenzfunktion ist ebenfalls Stetig ?

gilt nicht, wie oben gesagt.

Allerdings ist die Aussage

Zitat:

Original von Lauraundlisa
Kann man also sagen wenn die Grenzfunktion nicht Stetig ist so ist die Funktionsfolge nicht Gleichmäßig Konvergent ?

nicht die Umkehrung davon, sondern exakt das selbe (wenn man noch ergänzt, dass alle Folgenglieder stetig sind).

13.09.2017, 22:24

Lauraundlisa

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Punktweise und Gleichmäßige Konvergenz
Für das Intervall I=[1,unendlich)

habe ich so lange umgeformt und abgeschätzt bis ich auf

$\begin{eqnarray*} e*[exp(\frac{2016}{n+1} )-1] \end{eqnarray*}$

der Grenzwert davon ist 0 für n gegen unendlich. Aber was habe ich nun damit gezeigt ? verwirrt

Ich habe gezeigt der Grenzwert existiert und nun

13.09.2017, 22:45

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du dir nochmal sauber aufschreibst, was du da abgeschätzt hast (und nicht nur einen zusammenhanglosen Term), dann solltest du sehen, was du da gezeigt hast.

Für alle $\begin{eqnarray*} x\in[1,\infty) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|\leq e\cdot \left( e^\frac{2016}{n+1}-1 \right) \end{eqnarray*}$

Was sagt dir das, wenn du dir die Definition von gleichmäßiger Konvergenz anschaust?

13.09.2017, 23:08

Lauraundlisa

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso da der rechte Term gegen 0 geht finden wir immer ein epsilon größer null Oder

13.09.2017, 23:16

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ wofür?

14.09.2017, 00:36

Lauraundlisa

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ist das falsch ?
Mhh dann weiss ich auch nicht unglücklich

14.09.2017, 01:39

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann schon sein, dass in deiner Definition irgendwo ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ auftaucht. Du musst dann aber auch sagen, wo und was du damit machen willst.

Einfach nur "Wir finden ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ " reicht nicht.

14.09.2017, 12:54

Lauraundlisa

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wir finden ein $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} |f_{n}(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$ kleiner ist als epsilon.

14.09.2017, 17:51

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz, da fehlt immer noch was:
Laut Definition muss man für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N(\varepsilon)\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ finden, sodass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} x\in[1,\infty) \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Die linke Seite dieser Ungleichung ist höchstens $\begin{eqnarray*} e\cdot \left( e^\frac{2016}{n+1}-1 \right) \end{eqnarray*}$ ; und weil das gegen 0 konvergiert, findet man eben für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein passendes $\begin{eqnarray*} N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ mit dieser Eigenschaft.

(Etwas kürzer kann man die Definition von gleichmäßiger Konvergenz auch so schreiben: Die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n: D\to\mathbb R)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergiert gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f: D\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \sup_{x\in D} |f_n(x)-f(x)|=0 \end{eqnarray*}$ . Und dass das gilt, hattest du ja oben schin gesagt.)

Neue Frage »

Antworten »

Punktweise und Gleichmäßige Konvergenz

Verwandte Themen