2 Induktionen, Möbiusfunktion, My-Funktion und Euler-Phi-Funktion

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matheidiot123 Auf diesen Beitrag antworten »
2 Induktionen, Möbiusfunktion, My-Funktion und Euler-Phi-Funktion
Meine Frage:
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Meine Ideen:
Hismile

ich bin mir nicht ganz sicher,ob man die beiden Aufgaben mit induktion lösen kann,jedoch hab ich ein wenig Zeit zum recherchieren und denken verbracht ,um auf den lösungsweg der vollständigen Induktion zu kommen.

1.
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I.V. die behauptung stimmt für ein festes,aber beliebiges .

I.S.

jetzt mi I.V. auf die Summe. jedoch,kommm ab diesen Schritt nicht weiter.


2.
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I.V. die behauptung stimmt für ein festes,aber beliebiges .

I.S.



hier ergibt sich jetzt ein Problem für mich.Info vorab,wir haben die möbiusche Funktion definiert und die möbiussche Umkehrformel auch kennen gelernt.

Sorry falls die Fehler bzw. die Ansätze absoluter blödsinn sind...:/
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Aussagen , die wesentlich von der Teilerstruktur von abhängen, dürfte reinen Induktionsschritten der Form wenig Erfolg beschieden sein, da die Teilerstrukturen von und nichts gemeinsam haben, sie sind ja teilerfremd. Augenzwinkern

Schon eher ist da etwas wie vorstellbar, in der Richtung solltest du denken, wenn es denn überhaupt Vollständige Induktion sein muss.


P.S.: Ich würde z.B. 1.) eher "induktionsfrei" nachweisen:

Aus folgt auch , und umgekehrt. D.h., durchläuft die zu teilerfremden Zahlen im Bereich , so tut dies auch, nur in umgekehrter Reihenfolge. Damit ist




Bei 2.) kann ich mir tatsächlich eine Induktion vom Typ vorstellen, wo der Induktionsschritt basierend auf der Gleichung

,

angewandt auf zum Erfolg führt.
matheidiot123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

danke für deine schnelle Rückmeldung


"...Aus folgt auch , und umgekehrt. D.h., durchläuft die zu teilerfremden Zahlen im Bereich so tut dies auch, nur in umgekehrter Reihenfolge. Damit ist...."

wieso folgt aus folgt auch ? hast du das von hergeleitet? ich hab mir natürlich deine Erklärung ab dem "..d.h." durchgelesen,aber ich versuche sie immer noch zu verstehen.:/


und wieso kannst du das denn einfach zu als substituieren? also




2.)
I.S.
,jetzt die I.V. angewandt auf daraus folgt dann

ich hoffe,dass das einiger maßen korrekt ist verwirrt verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von matheidiot123
wieso folgt aus folgt auch ?

Kennst du denn nicht grundlegende Eigenschaften des ggT?

Für beliebige ganze Zahlen gilt sowie .

Zitat:
Original von matheidiot123
und wieso kannst du das denn einfach zu als substituieren?

Es wird einfach das vorher begründete "D.h., durchläuft die zu teilerfremden Zahlen im Bereich , so tut dies auch" in die Gleichung



umgesetzt und zum Original addiert.

Zitat:
Original von matheidiot123
,jetzt die I.V. angewandt auf daraus folgt dann

Bis hierhin schön eingesetzt - was danach kommt ist Unfug. unglücklich
matheidiot123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich hatte einen Druckfehler auf dem Blatt,


betrachte man aus der Menge der multiplikativen Funktionen,definiert durch

ich raffs einfach nicht. ich will diese ganze Zeit auch die Möbiussche inversion/umkehrformel darauf anwenden ,aber ich weis nicht wieso...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, worüber du da gerade redest, es hat aber erkennbar nichts mit den obigen beiden Aufgaben zu tun. Erstaunt1

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1) Hast du wirklich verstanden, warum

,

für alle gilt?


2) in (1) eingesetzt bekommt man dann links (beachte: geometrische Reihe!) für und mit den Ausdruck

,

letzteres wegen .

Rechts sehen wir uns die Summe mal näher an:

Die Indizes , über die hier summiert werden, sind sämtlich durch teilbar. Man kann sie also durch natürliche Zahlen mit substituieren. Aus folgt dann , außerdem ist sprich . Dies alles berücksichtigend kommen wir zu der Gleichung




3) Kommen wir nun zum Induktionsbeweis, von dem du den Anfang oben ja bereits richtig hast. Den Induktionsschritt organisiert man am besten (wie von mir oben so ähnlich vorgeschlagen) als für , d.h., wir dürfen dort als Induktionsvoraussetzung



für alle mit nutzen, um damit die Induktionsbehauptung



zu beweisen. Und das geht so: Für Teiler ist , für dieses greift die Induktionsvoraussetzung und liefert

.

Der Summand für bleibt erstmal stehen, so dass aus (2) nun Gleichung



wird. Die Summe hinten ist gemäß Eigenschaften der Möbiusfunktion für alle gleich Null, womit



folgt, damit ist die Induktionsbehauptung bewiesen.
 
 
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