Bestimmen Sie mit Beweis alle Teilräume U von IR^2, für die gilt: (1 1)^T Element aus U?

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KWod Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen Sie mit Beweis alle Teilräume U von IR^2, für die gilt: (1 1)^T Element aus U?
Meine Frage:
siehe Titel.. habe schon alles versucht und bin total verzweifelt. Wäre über Hilfe dankbar


Meine Ideen:
Teilraum Eigenschaften:
a) für alle á,á' aus U gilt á + á' Element aus U
b) für alle á Element aus U und a Element aus IR gilt a* á Element aus U
c) U ungleich leere Menge

á soll Vektor sein.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen Sie mit Beweis alle Teilräume U von IR^2, für die gilt: (1 1)^T Element aus U?
Zitat:
Original von KWod
habe schon alles versucht und bin total verzweifelt.

Da frage ich mich, was du denn alles versucht hast. Da wir im R² sind, ist die Lage denkbar einfach, denn im R² sind Teilräume der Nullvektor, alle Ursprungsgeraden oder der komplette R². Da der Vektor (1 1)^T enthalten sein soll, bleiben nur wenige Möglichkeiten übrig. Die solltest du nun selber finden können. smile
 
 
KWod Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen Sie mit Beweis alle Teilräume U von IR^2, für die gilt: (1 1)^T Element aus U?
Hallo, danke für deine Antwort. aber ich stehe ehrlich gesagt total auf dem Schlauch. Ich weiß gar nicht wie im Endeffekt meine Lösung aussehen soll.

Punkt 1 der Eigenschaften ist erfüllt da (1 1)T ja ein Element aus U ist und U also nicht leere Menge sein kann..

Tut mir total leid, dass ich dich mit etwas für dich scheinbar banalem nerve aber ich wäre dir wirklich EXTREM dankbar für eine ausführlichere Antwort..

LG
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Denk einmal an den Begriff der Basis eines Vektorraums. Dann solltest Du recht schnell darauf kommen.
KWod Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Denk einmal an den Begriff der Basis eines Vektorraums. Dann solltest Du recht schnell darauf kommen.


unsere Themen waren bisher
§0 Gleichungen mit 2 Unbekannten
§1 Begriff d. LGS
§2 Anwendungen auf LGS
§3 Gruppen


Vektorräume hatten wir noch nicht..
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ihr noch keine Vektorräume hattet, wie sollt ihr dann eine Aufgabe zu Teilvektorräumen lösen? verwirrt
Abgesehen davon, hast Du doch selber oben die Teilraumkriterien angegeben. Also war das Thema Vektorräume wohl doch schon dran, nur der Basisbegriff vielleicht noch nicht Augenzwinkern

Sei es drum: Du kannst das ganze auch über die Lösungsmenge eines homogenen LGS angehen, sofern ihr zumindest schon mal erwähnt habt, dass diese einen Teilraum darstellt.
Eine Lösung ist dir vorgegeben. Was bedeutet das für das zugehörige LGS?
KWod Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das kann gut sein, dass das gleiche gemeint ist.
Also danke schonmal für deine Antwort.

Also das LGS ist auf jeden Fall lösbar, aber nicht eindeutig. Das heißt, dass in meiner Lösungsmenge auf jeden Fall Parameter eine Rolle spielen werden?

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber das ist noch nicht das, auf was ich hinaus will. Kannst Du etwas über die Gleichungen sagen? Oder zumindest eine davon?
KWod Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Ja, aber das ist noch nicht das, auf was ich hinaus will. Kannst Du etwas über die Gleichungen sagen? Oder zumindest eine davon?


Ich bin mir grade echt unsicher was du meinst.

Meinst du, dass wenn der Vektor (1 1) lautet, es 2 Unbekannte gibt, d. h. die Gleichungen so: ax+by=e und cx+dy=f aussehen müssten?
Oder das beide Unbekannten die gleiche Unbekannte ist? Also x=y?

Ich bin grade wahrscheinlich total auf dem Holzweg..
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Da wir von einem linearen, homogenen System reden ist doch per se ein System der Form ax+by=0 und cx+dy=0 gemeint.

Nun weisst Du, dass eine Lösung ist. Was bedeutet das für die Koeffizienten?
KWod Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt.

Naja, wenn ( 1 1) eine Lösung ist, dann müssen die Koeffizienten 0 sein, ansonsten wären die Gleichungen nicht gleich Null.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Da kann ich Dir nicht ganz folgen. Wieso sollte 0x+0y=0 die einzige Möglichkeit sein, um mit x=y=1 eine wahre Aussage zu erhalten?
KWod Auf diesen Beitrag antworten »

Weil 0*1 + 0*1 = 0 ist?

oder man könnte nehmen -0,5 x + 0,5 y = 0, dann wäre -0,5*1 + 0,5*1 auch = 0
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

richtig. Also welche Form muss mindestens eine der Gleichungen haben?
KWod Auf diesen Beitrag antworten »

-ax + ay = 0?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Genau und die zweite Gleichung?
KWod Auf diesen Beitrag antworten »

ax - ay = 0?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

nicht ganz. zum beispiel würde doch auch das System 2x-2y=0 und 3x-3y=0 die Lösung (1/1) haben.
KWod Auf diesen Beitrag antworten »

oh, also muss ich konkrete Zahlenbeispiele nehmen, statt mit variablen. Ok also habe ich jetzt zwei Gleichungen für mein homogenes LGS

-0,5 x + 0,5 y = 0
2 x - 2 y = 0

-0,5 0,5 0 / *4
2 - 2 0

ergibt dann in der 2. Zeile: 0 = 0
d. h. ich nehme mir den Parameter x = t und habe den z. B. y = -0,5t / 0,5 = - t

also habe ich als Lösungsmenge ( t -t)T bzw. t(1 -1)... oder?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, Du musst keine Zahlenbeispiele nehmen, denn es geht ja immer noch um alle Möglichkeiten und nicht irgendwelche speziellen. Ich hatte nur ein Beispiel genannt, das nicht zu deinem System (ax-ay=0 und -ax+ay=0) passt.
KWod Auf diesen Beitrag antworten »

also einfach nur x - y = 0?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte nicht wild raten, sondern einfach mal in Ruhe nachdenken. Du hast doch eben selber schon ein System angegeben, dass die gewünschte Lösung hat, in der aber kein einziges Mal die Gleichung x-y=0 auftaucht.
Zitat:
Original von KWod

-0,5 x + 0,5 y = 0
2 x - 2 y = 0


Also einen Schritt zurück: Du hast herausgefunden, dass die erste Gleichung die Form ax-ay=0 haben muss. Die zweite kann, muss aber nicht die Form -ax+ay=0 haben. Beachte, dass Konstanten eindeutig vergeben werden.
Es kann gut sein, dass Du das richtige meintest, aber so wie Du es aufgeschrieben hast, ist es leider falsch. Daher noch einmal die Frage: Welche Form hat die zweite Gleichung?
KWod Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Bitte nicht wild raten, sondern einfach mal in Ruhe nachdenken. Du hast doch eben selber schon ein System angegeben, dass die gewünschte Lösung hat, in der aber kein einziges Mal die Gleichung x-y=0 auftaucht.
Zitat:
Original von KWod

-0,5 x + 0,5 y = 0
2 x - 2 y = 0


Also einen Schritt zurück: Du hast herausgefunden, dass die erste Gleichung die Form ax-ay=0 haben muss. Die zweite kann, muss aber nicht die Form -ax+ay=0 haben. Beachte, dass Konstanten eindeutig vergeben werden.
Es kann gut sein, dass Du das richtige meintest, aber so wie Du es aufgeschrieben hast, ist es leider falsch. Daher noch einmal die Frage: Welche Form hat die zweite Gleichung?


also

ax-ay=0 ist meine erste Gleichung..
kann ich dann nicht einfach sagen ich nehme die Konstante b und nehme so
bx -by = 0 als zweite Gleichung?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst das nicht nur, Du musst es so schreiben, denn wie wir oben gesehen haben, hat die erste Gleichung mit der zweiten nicht viel zu tun. (Abgesehen von einem gemeinsamen Lösungsvektor).

Jetzt hast Du das System gefunden und musst Dir nur noch Gedanken über die Lösungsmenge in Abhängigkeit von a und b machen. Zur Vereinfachung, kannst Du sogar fordern, dass gilt (Ist aber eigentlich nicht notwendig).
KWod Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Du kannst das nicht nur, Du musst es so schreiben, denn wie wir oben gesehen haben, hat die erste Gleichung mit der zweiten nicht viel zu tun. (Abgesehen von einem gemeinsamen Lösungsvektor).

Jetzt hast Du das System gefunden und musst Dir nur noch Gedanken über die Lösungsmenge in Abhängigkeit von a und b machen. Zur Vereinfachung, kannst Du sogar fordern, dass gilt (Ist aber eigentlich nicht notwendig).


Oh Gott, endlich. Na gut, danke schon mal dafür.

Jetzt habe ich also

ax - ay = 0
bx - by = 0

Also, wenn ich die Lösungsmenge in Abhängigkeit von a und b aufstellen soll, würde ich Fälle bestimmen:

1. Fall: a = 0, b = 0
--> mehrdeutig lösbar, da 0 = 0
Also für jedes (x,y) aus R gibt es eine Lösung

2. Fall: a, b ungleich Null
--> auch mehrdeutig lösbar, da 0=0
auch hier gilt für jedes (x,y) aus R gibt es eine Lösung

... scheint wieder nicht richtig zu sein. Was ist los mit mir? Ich glaube mein größtes Problem ist es, dass ich nicht weiß, wie im Endeffekt die Lösung aussehen soll.

Ich danke dir wirklich für deine Geduld und deine Hilfe.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du stehst kurz vor der Lösung, also bleib am Ball!

Fall 1 ist richtig. Wenn beide Variablen Null sind, ist das System die wahre Aussage 0=0 und das gilt für beliebige Vektoren (x,y).

Fall 2 ist falsch. Wenn beide ungleich Null sind, hast Du ein System wie Du es oben als Beispiel genommen hast. Die Lösung ist offensichtlich nicht beliebig.

Fall 3 fehlt noch, nämlich dass nur eine der beiden Variablen Null ist. Geht aber fast analog zu Fall 2.
KWod Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Du stehst kurz vor der Lösung, also bleib am Ball!

Fall 1 ist richtig. Wenn beide Variablen Null sind, ist das System die wahre Aussage 0=0 und das gilt für beliebige Vektoren (x,y).

Fall 2 ist falsch. Wenn beide ungleich Null sind, hast Du ein System wie Du es oben als Beispiel genommen hast. Die Lösung ist offensichtlich nicht beliebig.

Fall 3 fehlt noch, nämlich dass nur eine der beiden Variablen Null ist. Geht aber fast analog zu Fall 2.


Ok, also nochmal:

Mein LGS:
ax - ay = 0
bx - by = 0


1. Fall: a = 0, b = 0
--> mehrdeutig lösbar, da 0 = 0
Also für jedes (x,y) aus R gibt es eine Lösung

2. Fall: a, b ungleich Null
--> ax - ay (analog für b) muss = 0 sein. Das heißt es gilt x = y, sodass 0 = 0 das Ergebnis ist. Das heißt bei a, b ungleich Null gibt es für
i) x = y eine Lösung, aber keine eindeutige, und für
ii) x ungleich y, keine Lösung

3. Fall: a=0, b ungleich 0 bzw. b= 0, a ungleich 0
--> x muss gleich y sein, da sonst keine Lösung!
KWod Auf diesen Beitrag antworten »

Also sind alle Teilräume U von R^2

also U = {(x,y) aus R^2 l x=y, für alle x,y aus R}

und dafür gilt auch, dass (1 1)T ein Element ist.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Fall 2 ii verstehe ich nicht. Der Vektor (x,y) soll doch die Lösung sein, die Du berechnest. Wieso willst Du da etwas vorgeben? verwirrt

Auch ist die Schlußfolgerung nicht korrekt, denn das würde ja bedeuten, dass es nur einen einzigen Unterraum gibt, der enthält. Es gibt aber noch einen zweiten.
KWod Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Fall 2 ii verstehe ich nicht. Der Vektor (x,y) soll doch die Lösung sein, die Du berechnest. Wieso willst Du da etwas vorgeben? verwirrt

Auch ist die Schlußfolgerung nicht korrekt, denn das würde ja bedeuten, dass es nur einen einzigen Unterraum gibt, der enthält. Es gibt aber noch einen zweiten.


Wenn bei Fall 2 ii) y ungleich x ist, und a,b ungleich Null, könnte doch beispielsweise sowas wie: 1*2 - 1*3 = 0 => -1=0 als falsche Aussage dort stehen. Deswegen gibt es doch für x ungleich y im Fall 2 keine Lösung, oder nicht?

und ich dachte x=y sein weil ( 1 1)T doch ein Element aus U ist und da ist x doch auch gleich y ( x=y=1)?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit 2 ii ist zwar richtig, aber ich verstehe nicht, was Du damit sagen willst.
Wenn Du die Aufgabe bekommst alle Lösungen der Gleichung x-2y=1 zu bestimmen, gehst Du doch auch nicht her und sagst: "Wenn ich x=3 und y=5 wähle stimmt die Gleichung nicht". Es geht doch gerade um die Wertepaare (x,y), die die Gleichung (oder in deinem Fall das System) lösen. Wozu dann also die betrachten, die es nicht tun?

Zum zweiten: U ist einer der möglichen Unterräume, aber es ist nicht der einzige.
Du solltest Dir noch einmal die Fallunterscheidung anschauen und die daraus entstehenden Lösungsmengen.
KWod Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Das mit 2 ii ist zwar richtig, aber ich verstehe nicht, was Du damit sagen willst.
Wenn Du die Aufgabe bekommst alle Lösungen der Gleichung x-2y=1 zu bestimmen, gehst Du doch auch nicht her und sagst: "Wenn ich x=3 und y=5 wähle stimmt die Gleichung nicht". Es geht doch gerade um die Wertepaare (x,y), die die Gleichung (oder in deinem Fall das System) lösen. Wozu dann also die betrachten, die es nicht tun?

Zum zweiten: U ist einer der möglichen Unterräume, aber es ist nicht der einzige.
Du solltest Dir noch einmal die Fallunterscheidung anschauen und die daraus entstehenden Lösungsmengen.


Also:
ax-ay=0
bx-by=0

oder

ax^2 - ay^2=0
bx^2-by^2=0

Das können doch alles meine Gleichungssysteme sein oder?

beim ersten Fall
ax-ay=0
bx-by=0
habe ich die Fallunterscheidung gemacht. Ich habe auch berechnet wofür es nicht gilt weil ich dachte, dass ich das in der Lösungsmenge angeben muss.

Ich glaube ich kriege es nicht hin...
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss jetzt nicht, ob es die Uhrzeit ist, aber wie kommst Du darauf ein lineares Gleichungssystem aufzuschreiben, das quadratische Terme enthält? geschockt

Um es nicht noch mehr in die Länge zu ziehen:
Das LGS (ax-ay=0 und bx-by=0) mit besitzt ....

  1. für a=b=0 den ganzen Raum als Lösung.

  2. für a=0 und |b|>0 die Lösung

  3. für |a|>0 und |b|>0 ebenfalls die Lösung


Begründung:
  1. 0=0 ist für beliebige Vektoren erfüllt



  2. die beiden Gleichungen sind äquivalent und lassen sich somit in ein System vom Typ 2 umformen.

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