Beweis: Austauschlemma

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16.09.2017, 18:23	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Austauschlemma Hallo Leute, folgende Aufgabe ist gegeben: Sei Sei $\begin{eqnarray} v_1, v_2, . . . , v_n \end{eqnarray}$ eine Basis von V und w ein von Null verschiedener Vektor aus V , den wir als Linearkombination $\begin{eqnarray} w = a_1 v_1 +...+ a_i v_i+... + a_n v_n \end{eqnarray}$ () der Basis $\begin{eqnarray} v_1, v_2, . . . , v_n \end{eqnarray}$ darstellen. Falls $\begin{eqnarray} a_i \neq 0 \end{eqnarray}$ , entsteht durch Austausch von w mit $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ aus der Basis $\begin{eqnarray} v_1, v_2, . . . , v_n \end{eqnarray}$ eine neue Basis $\begin{eqnarray} v_1, . . . , v_{i-1}, w , v_{i+1}, . . . , v_n \end{eqnarray}$ von V. Meine Idee für den Beweis: Erstmal würde ich () nach $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ umstellen, da ja $\begin{eqnarray} a_i \neq 0 \end{eqnarray}$ . Also : $\begin{eqnarray} v_i = \frac{1}{a_i} w - \frac{a_1}{a_i} v_1 -...- \frac{a_n}{a_i} v_n \end{eqnarray}$ D.h v_i ist als Linearkombination darstellbar. Wie mache ich jetzt genau weiter? Vielen dank für eure Hilfe
16.09.2017, 18:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt schließt du daraus, dass das neue System ein Erzeugendensystem ist. Dann musst du nur noch die zweite Eigenschaft einer Basis nachweisen.
16.09.2017, 22:02	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Warum folgt daraus, dass es sich um ein EZS handelt? Die 2. Eigenschaft wäre die lineare Unabhängigkeit
16.09.2017, 22:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle v's werden erzeugt und diese sind ein Erzeugendensystem. Ja, zeige dass das neue System l.u. ist. Es geht sogar noch einfacher, wenn man weiß, dass eine Basis ein minimales Erzeugendensystem ist.
16.09.2017, 22:14	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, d.h es muss gelten für das EZS $\begin{eqnarray} a_1 v_1 + .....+ a_{i-1} v_{i.1} + a w + .....a_n v_n =0 \end{eqnarray}$ 1. Fall: a = 0 daraus folgt die lineare Unabhängigkeit nach Voraussetzung. 2. Fall: a ungleich 0: Wie kann ich das machen?
16.09.2017, 22:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So geht es nicht. Setze w in die Gleichung ein.
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16.09.2017, 22:20	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry, wie meinst du das. Wo soll ich w einsetzen?
16.09.2017, 22:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze die rechte Seite der Gleichung () in die letzte Gleichung ein, von der du zeigen willst, dass alle Koeffizienten gleich 0 sind. Verwende für die letzte Gleichung nicht a's als Koeffizienten, denn die sind schon in () verbraucht worden.
16.09.2017, 22:41	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: $\begin{eqnarray} b_1 v_1 +....+b_{i-1} v_{i-1}+b ( a_1 v_1 +...+ a_i v_i+... + a_n v_n) +b_{i+1} v_{i+1}...+b_n v_n=0 \end{eqnarray}$ so? Wie sehe ich die lin. unab.
17.09.2017, 08:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach v's sortieren. (kommutativ und andere Vektorraumaxiome) Warum nennst du $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ nicht $\begin{eqnarray} b_i \end{eqnarray}$ ? Das würde viel besser ins Schema passen. In Summenschreibweise $\begin{eqnarray} \sum ... \end{eqnarray}$ statt in Additionsschreibweise $\begin{eqnarray} ...+...+... \end{eqnarray}$ wäre das auch leichter zu notieren.
17.09.2017, 11:19	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das b_i vergessen. Also in Summenschreibweise wäre es dann: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} v_k ( b_k + b_i a_k)=0 \end{eqnarray}$ Ich weis jetzt nicht, was du mit anderen Vektorraumaxiomen meinst, aber die Vektoren sind lin. unabh, da die v_i nach Voraussetzung eine Basis bilden. Ist das falsch?
17.09.2017, 13:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die "anderen Vektorraumaxiome" erlauben es, die Vektoren und Koeffizienten so zusammenzufassen, dass eine Linearkombination der $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ dasteht. Leider hast du beim rechnen nicht aufgepasst, was du gemacht hast gilt für $\begin{eqnarray} k\ne i \end{eqnarray}$ , der Koeffizient von $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ ist nicht $\begin{eqnarray} b_i+b_ia_i \end{eqnarray}$ .
17.09.2017, 13:29	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{k=1, k\neq i}^{n} v_k ( b_k + b_i a_k))+ b_i a_i v_i=0 \end{eqnarray}$ So dann. Irgendwie schaut das falsch aus
17.09.2017, 13:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt. Was lernt man nun daraus, dass die v's eine Basis sind ?
17.09.2017, 13:39	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben doch eine Linearkombination aus v's dastehen. Diese bilden ja nach der Voraussetzung eine Basis. Wie begründet sich jetzt genau der Austauch von v_i mit w?
17.09.2017, 13:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nicht die Frage. Wir haben eine Linearkombination von Basisvektoren, die den Nullvektor bilden. Was folgt daraus (für die Koeffizienten) ?
17.09.2017, 13:49	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Koeffizienten müssen 0 sein, da die Basisvektoren ja nach Def. linear unabhägnig sind.
17.09.2017, 13:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Weiter. Was folgt daraus ?
17.09.2017, 13:58	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme nicht drauf
17.09.2017, 14:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Insbesondere ist $\begin{eqnarray} b_ia_i=0 \end{eqnarray}$ . Was wissen wir über $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ ? Was folgt daraus ? Und warum folgt das daraus ? Und warum ist das interessant ?
17.09.2017, 14:15	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
a_i ist ungleich 0, d.h b_i muss 0 sein. d.h w muss auch linear unabhängig sein, da b_i der Koeffizient vor dem w ist?
17.09.2017, 14:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So ungefähr, ja. Aber: man kann nicht sagen, dass ein Vektor $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ l.u. ist. Wie begründest du, dass $\begin{eqnarray} b_i=0 \end{eqnarray}$ sein muss ?
17.09.2017, 14:25	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt ja wie vorher gesagt: b_i a_i = 0 . a_i ist nach Voraussetzung ungleich 0, deshalb muss b_i =0 sein.
17.09.2017, 14:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist das so ? Kannst du das beweisen ?
17.09.2017, 14:55	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du , dass in einem 0 * a_i = 0 ist?
17.09.2017, 15:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist klar. $\begin{eqnarray} 0a=0 \end{eqnarray}$ gilt immer. Für welche Objekte gilt $\begin{eqnarray} ab=0\Rightarrow a=0\vee b=0 \end{eqnarray*}$ . Wie nennt man diese Eigenschaft algebraischer Strukturen ? Warum gilt das hier, und wie beweist man es ?
17.09.2017, 15:20	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du, weil wir in einem Körper sind? Ich weis nicht wie die Eigenschaft heißt
17.09.2017, 15:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, Körper sind nullteilerfrei. Kennst du den Beweis ?
17.09.2017, 15:32	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das mit dem nullteilerfrei noch nicht gehört, aber vllt funktioniert der Beweis ja so: Wenn $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb K \end{eqnarray}$ . Was wir zeigen wollen, a * b = 0 folgt a = 0 oder b=0. Beweisversuch Wenn $\begin{eqnarray} a \neq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0= a^{-1} \cdot 0 = a^{-1} (a\cdot b) = (a^{-1}\cdot a)\cdot b=b \end{eqnarray}$ also b=0. Der andere Fall analog.
17.09.2017, 15:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so geht das. Per Definition ist jedes von 0 verschiedene Element eines Körpers invertierbar, weil $\begin{eqnarray} K^=(K\backslash \{0\},) \end{eqnarray}$ eine Gruppe ist. Damit ist dein Beweis fertig ... du musst ihn nur noch schön aufschreiben. Übrigens hätten wir uns die ganze Rechnerei sparen können, wenn wir gewußt hätten, dass eine Basis definiert werden kann als minimales Erzeugendensystem. Wir nehmen aus der v-Basis einen Vektor heraus, fügen einen Vektor w hinzu. Das gibt ein neues Erzeugendensystem mit gleich vielen Elementen, also ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis. --- siehe meinen zweiten Beitrag ---
17.09.2017, 15:44	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal vielen Dank: Ich hätte noch 2 Fragen. Ok weil wir jetzt nachgewiesen haben, dass b_i gleich 0 ist, ist das EZS aus mit w statt dem v_i linear unabhängig also eine Basis. Zu dem was du gesagt hast, wie es einfacher geht: Übrigens hätten wir uns die ganze Rechnerei sparen können, wenn wir gewußt hätten, dass eine Basis definiert werden kann als minimales Erzeugendensystem. Wir nehmen aus der v-Basis einen Vektor heraus, fügen einen Vektor w hinzu. Das gibt ein neues Erzeugendensystem mit gleich vielen Elementen, also ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis. Woher weis man, dass w dann lin. unabhängig ist? Er kann doch auch 2* v_1 sein z.B?
17.09.2017, 18:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls $\begin{eqnarray} w=2v_1 \end{eqnarray}$ ist, nehmen wir $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ aus der Basis und stecken $\begin{eqnarray} 2v_1 \end{eqnarray}$ hinein. Das ändert offensichtlich nichts am Basis-Sein. Ein Vektor $\begin{eqnarray} w\ne 0 \end{eqnarray}$ ist niemals linear abhängig, denn es gilt $\begin{eqnarray} aw=0\Rightarrow a=0 \end{eqnarray}$ . Eine Menge von Vektoren ist entweder linear abhängig oder linear unabhängig. Wir haben bewiesen: $\begin{eqnarray} \{v_1,...,v_n\} \end{eqnarray}$ Basis, d.h. l.u. Erzeugendensystem, $\begin{eqnarray} w=\sum_{k=1}^na_kv_k, a_i\ne 0\Rightarrow \{v_1,...,v_{i-1},w,v_{i+1},...,v_n\} \end{eqnarray}$ Basis, d.h. l.u. Erzeugendensystem. Wir hätten auch (ohne Rechnung) beweisen können: $\begin{eqnarray} \{v_1,...,v_n\} \end{eqnarray}$ Basis, d.h. minimales Erzeugendensystem, $\begin{eqnarray} w=\sum_{k=1}^na_kv_k, a_i\ne 0\Rightarrow \{v_1,...,v_{i-1},w,v_{i+1},...,v_n\} \end{eqnarray}$ Basis, d.h. minimales Erzeugendensystem. Es kommt also nur auf die Definition einer Basis an, ob man rechnen oder nachdenken muss, um das Austauschlemma zu beweisen. Selbstverständlich sind alle Definitionen für eine Vektorraumbasis gleichwertig, also $\begin{eqnarray} \{v_1,...,v_n\} \end{eqnarray}$ Basis $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \{v_1,...,v_n\} \end{eqnarray}$ l.u. Erzeugendensystem $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \{v_1,...,v_n\} \end{eqnarray}$ minimales Erzeugendensystem ( $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \{v_1,...,v_n\} \end{eqnarray}$ maximales l.u. System )
17.09.2017, 23:33	MathNoob28	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr schön. Vielen Dank Elvis. Du hast mir wirklich sehr geholfen. Ich muss einfach noch exakter meine Schritte begründen. Ich hoffe, ich bin mal auch so kompetent wie du

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