Ebenenschar im Koordinatensystem

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catsalkoaglos Auf diesen Beitrag antworten »
Ebenenschar im Koordinatensystem
Meine Frage:
Ebenenschar im Koordinatensystem
Meine Frage:
Wie liegen die Ebenen der Ebenschar im Koordinatensystem ? Begründen sie !

a) E: 5 x2 = a
b) E: -x1 = a
c) E: 3 X3 = a



Meine Ideen:
Das ist ja das Problem, ich habe keinen Ansatz. Ich bin echt nicht gut in Mathe und würde mich sehr über eine ausführliche Erklärung freuen Augenzwinkern
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebenenschar im Koordinatensystem
Guten Abend,

nehmen wir die Ebene bei a):

Es folgt
x2 =(1/5)a

d.h. du suchst alle Punkte, die einen konstanten x2-Wert haben und bei denen die x1- und x3-Werte beliebig sind. Diese Punkte liegen in einer Ebene, die parallel zur x1x3-Ebene ist.

Bei den beiden anderen Ebenen kannst entsprechend argumentieren.
Wie liegen also die 3 Ebenen zueiander?
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem bei allen drei Ebenen der Parameter a das absolute Glied ist, verändern diese Ebenen ihren Normalvektor nicht.
Bestimme daher den jeweiligen Normalvektor und schließe von dessen Lage auf die Lage der Ebenen.
Die Änderung des Parameters bewirkt lediglich eine Verschiebung in Richtung des Normalvektors.

Hinweis zu a), die anderen Angaben gehen analog:

Dividiere durch , dann lautet die Gleichung der Ebene in Normalvektorform:



Die besondere Richtung deren Normalvektors (in Richtung der x_2 - Achse) bestimmt nun auch die Lage der Ebene.

mY+
catsalkoaglos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebenenschar im Koordinatensystem
danke erstmal für deine Antwort Augenzwinkern allerdings habe ich immer noch keine Ahnung wie das gehen soll. Kannst du mir vielleicht noch etwas mehr helfen? smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bürgi hat es doch schon ausführlich erklärt!
Ich zeige dir a) nochmals auf eine etwas andere Art, vielleicht klappt's dann:
Da alle Ebenen den gleichen Normalvektor (0; 1; 0) haben, sind sie senkrecht zum Einheitsvektor der x2-Achse, daher parallel zur x1-x3 - Ebene.

Bei b) und c) kannst du analog argumentieren.

mY+
catsalkoaglos Auf diesen Beitrag antworten »

Danke man, habe echt Respekt vor deinen Mathe-Fähigkeiten. Kannst du eventuell noch erklären warum alle Ebenen den gleichen Normalvektor haben, bzw. was meinst du mit "alle Ebenen"? ich dachte es gibt nur eine Ebene xD Und warum sind die Ebenen senkrecht zum Einheitsvektor? Also das hast du zwar schon begründet aber ich verstehe ehrlich gesagt nur Bahnhof. Vielleicht bin ich einfach zu dumm dafür. Danke trotzdem, dass du es versucht mir zu erklären xD Wie gesagt, wäre mega lieb wenn du es noch ausführlicher erklären könntest... Augenzwinkern Augenzwinkern Augenzwinkern Augenzwinkern Augenzwinkern Augenzwinkern Augenzwinkern Augenzwinkern Augenzwinkern Augenzwinkern Augenzwinkern Augenzwinkern Augenzwinkern Augenzwinkern Augenzwinkern Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Parameter a kann ja jede beliebige reelle Zahl annehmen! Daher gibt es nicht nur eine, sondern unendlich viele Ebenen, welche hier alle parallel sind, und zwar deswegen:

In der Ebenengleichung



sind die Komponenten des Normalvektors der Ebene.

Dies wiederum ergibt sich aus der allgemeinen Normalvektorform der vektoriellen Ebenengleichung



welche aussagt, dass für jeden beliebigen Punkt X und einen festen Punkt X0 der Ebene der Vektor und der Normalvektor der Ebene senkrecht aufeinander stehen.

Multipliziert man das skalare Produkt aus, so ist

, die rechte Seite ist konstant, kann man nennen




-------------------------------------------------------

Ist nun der Normalvektor (0; 1; 0)T, so zeigt dieser in Richtung des Einheitsvektors der x_2 -Achse.
Somit müssen alle Ebenen darauf senkrecht sein und weiters daher parallel zur x1-x3 - Ebene.

mY+
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