Ungleichung bei charakteristischer Funktion

18.09.2017, 08:00	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung bei charakteristischer Funktion Ich habe $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(\|X\|>M)<\delta \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} \|t\|<\frac{1}{M} \end{eqnarray}$ soll jetzt gelten: $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(\cos(Xt))= \mathbb{E}(\cos(Xt)[\|X\|\leq\frac{1}{M}]) +\mathbb{E}(\cos(Xt)[\|X\|>\frac{1}{M}]) \geq cos(1)(1-\delta) -\delta \end{eqnarray}$ Ich verstehe nicht, wie ich auf die Ungleichung komme. Danke euch im Voraus
18.09.2017, 09:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal müssen wir wohl deine Symbolik klären: Mit $\begin{align} [A] \end{align}$ scheinst du die Indikatorfunktion des Ereignisses $\begin{align} A \end{align}$ zu meinen, d.h. $\begin{align} [A](\omega) := \begin{cases} 1 &\;\mbox{für}\;\omega\in A<br /> 0 &\;\mbox{für}\;\omega\not\in A\end{cases} \end{align}$ . Ich erwähne das nur, weil diese deine Bezeichnung dafür im Gegensatz zu $\begin{align} 1_A \end{align}$ oder seltener auch $\begin{align} \chi_A \end{align}$ sehr ungebräuchlich ist. Ansonsten denke ich, da liegt ein Schreibfehler vor, und es muss $\begin{align} \mathbb{E}(\cos(Xt))= \mathbb{E}(\cos(Xt)[\|X\|\leq M]) +\mathbb{E}(\cos(Xt)[\|X\|>M]) \geq cos(1)(1-\delta) -\delta \end{align}$ heißen. Dabei wird $\begin{align} P(\|X\|\leq M) > 1-\delta \end{align}$ und $\begin{align} P(\|X\|>M) < \delta \end{align}$ , sowie beim ersten Erwartungswert $\begin{align} \cos(Xt)\geq \cos(1) \end{align}$ und beim zweiten Erwartungswert schlicht $\begin{align} \cos(Xt)\geq -1 \end{align}$ genutzt. P.S.: Ich vermeide es nach Möglichkeit, in der Stochastik den Begriff "charakteristische Funktion" für die Indikatorfunktion zu verwenden, die Verwechslungsgefahr ist einfach zu groß.
18.09.2017, 09:37	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
Danken für den Hinweis, dann ist anscheinend ein Fehler im Skriptum.

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