Erwartungstreuer Erwartungswert und Varianz

18.09.2017, 13:05

Meggo0

Erwartungstreuer Erwartungswert und Varianz

Hallo zusammen,

ich habe folgende Tabelle, siehe Dateianhänge.

Ich suche jetzt einen erwartungstreuen Schätzwert für den Erwartungswert und Varianz der Gewichte.

Für den Erwartungswert habe ich das arithmetische Mittel verwendet:

$\begin{eqnarray*} \frac{2*93+1*97...+1*123}{22} = 101,14 \end{eqnarray*}$

Erwartungstreu? Ja weil:

$\begin{eqnarray*} E(\vec{x})= \frac{1}{n}*\sum\limits_{k=1}^{n} E(X)= \frac{1}{n}*\sum\limits_{k=1}^{n} u= \frac{1}{22}*22*u= u \end{eqnarray*}$

Alle Zufallsgrößen X haben vorraussichtlich den gleichen Erwartungswert, somit erwartungstreu.
Ist das korrekt?

Leider weiß ich nicht, wie ich bei der Varianz vorgehen soll.

Wie rechne ich die Varianz aus?

So: $\begin{eqnarray*} V(X)= E(X^{2})-(E(X))^2 \end{eqnarray*}$

oder

So: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n-1}*\sum\limits_{k=1}^{n} (X-\vec{x})^2 \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich, das die Varianz erwartungstreu ist?

Danke für eure Hilfe.

18.09.2017, 13:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Meggo0
Leider weiß ich nicht, wie ich bei der Varianz vorgehen soll.

[...]

Wie zeige ich, das die Varianz erwartungstreu ist?

Es geht hier um die empirische Varianz, auch Stichprobenstreuung genannt: $\begin{align*} S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^n (X_k-\bar{X})^2 \end{align*}$

Der Nachweis von deren Erwartungstreue ist so einfach nicht: Beweis der Erwartungstreue der empirischen Varianz

@Moderatoren

Vereinigt das mal bitte mit diesem Thread, den ich erst jetzt entdeckt habe. Und hinsichtlich Diskussion der Erwartungstreue gehört das sicher eher in die Hochschulmathematik.

Edit (mY+): DONE, und der andere Beitrag wurde geschlossen.

18.09.2017, 13:35

Meggo0

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Okay das heißt mein geschätzter Erwartungswert und die Erklärung dazu ist richtig und für die Varianz würde dann nach der empirische Varianz 36,69 rauskommen?

Besten Dank

18.09.2017, 13:48

HAL 9000

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Ja, 36.69 ist richtig. Freude

Eine Anmerkung zu deiner Wortwahl: Die Kennzeichnung erwartungstreu ist nur für Schätzfunktionen (kurz: Schätzer) angebracht, wie etwa Mittelwert $\begin{align*} \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k \end{align*}$ als Schätzer für den Erwartungswert $\begin{align*} E(X) \end{align*}$ oder die Stichprobenstreuung $\begin{align*} S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^n (X_k-\bar{X})^2 \end{align*}$ als Schätzer für die Varianz $\begin{align*} V(X) \end{align*}$ , das sind nämlich Zufallsgrößen.

Die zugehörigen Schätzwerte bei Einsetzen der konkreten Stichprobe, also Mittelwert $\begin{align*} \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k \end{align*}$ und Streuung $\begin{align*} s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^n (x_k-\bar{x})^2 \end{align*}$ - und damit das, was du hier in dieser Aufgabe berechnest - sind einfache Zahlen (keine Zufallsgrößen), und für die machen Begriffe wie "Erwartungstreue" keinen Sinn (genaueres zu diesem Thema hier).

18.09.2017, 17:51

Meggo0

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Soweit habe ich Ihre Antwort verstanden.

Allerdings verwirrt mich jetzt, dass ich in meiner Aufgabe einen erwartungstreuen Schätzwert für Erwartungswert und Varianz angeben soll

. Nach Ihrer Aussage kann aber nur die Schätzfunktion erwartungstreu sein... verwirrt

Ferner soll ich in der Folgeaufgabe ein symmetrisch zum geschätzten Erwartungswert liegendes
Intervall angeben, das mit 99%iger Wahrscheinlichkeit den tatsächlichen Erwartungswert
enthält.

Muss ich dann zum berechnen des Intervalls die Formel verwenden, bei der der Erwartungswert und die Varianz unbekannt ist, also folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} \bar{x}-c*\frac{s}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar{x}-c*\frac{s}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$

Oder kenne ich jetzt meine Varianz (weil geschätzt) und verwende dementsprechend folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} \bar{x}-c*\frac{\sigma}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar{x}+c*\frac{\sigma}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für das Bemühen

18.09.2017, 18:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Meggo0
Muss ich dann zum berechnen des Intervalls die Formel verwenden, bei der der Erwartungswert und die Varianz unbekannt ist, also folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} \bar{x}-c*\frac{s}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar{x}-c*\frac{s}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$

Das ist die richtige, und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist dabei ein Quantil der t-Verteilung mit $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Freiheitsgraden (statt eins der Normalverteilung wie im anderen Fall mit bekanntem $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ).

Zitat:

Original von Meggo0
Allerdings verwirrt mich jetzt, dass ich in meiner Aufgabe einen erwartungstreuen Schätzwert für Erwartungswert und Varianz angeben soll

Anscheinend gibt es auch Lehrkräfte, die es mit der Wortwahl nicht so genau nehmen. Augenzwinkern

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