Zusammenhang Vektorraum und Körper

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Physikstudi Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang Vektorraum und Körper
Guten Tag.

Ich lerne gerade für die Modulprüfung "Mathematik für Physiker I/II".

Ich verwende dazu 2 Skripte von 2 unterschiedlichen Profs., für das bessere Verständnis, falls bei einem Skript etwas nicht ganz klar wird.

Bei der Definition des Vektorraums definiert der eine Prof. nun Vektorraum als Tripel , wobei V eine Menge ist, "Plus" und "Mal" die Abbildungen "Vektoraddition" und "Multiplikation mit Skalar" (ihr wisst, was gemeint ist, daher schreibe ich die Abbildungsformeln nicht explizit auf). Und dann werden die 8 Vektorraumaxiome aufgezählt.

Das ist alles verständlich.

Nun macht der andere Prof. es so, dass er erst den Körper K definiert, mit den entsprechenden Verknüpfungen ("Körpermultiplikation, Addition"). Dann sagt er:

"Dann kann man den Raum der Spaltenvektoren einführen, definiert die Abbildungen "Vektoraddition" und "Multiplikation mit Skalar" und kann überprüfen, dass die oben genannten 8 Axiome gelten."

Dann definiert er: "Jede Menge V mit den oben genannten 2 Abbildungen und 8 Axiomen heißt Vektorraum über den Körper K."


Frage: Mir erschließt sich einfach nicht, warum er das mit dem Körper macht. Vielleicht ergibt sich ja aus jedem Körper mit den 2 Abbildungen und 8 Axiomen ein Vektorraum. Aber nicht jede Menge V, die diese Vektorraumaxiome erfüllt, ist doch automatisch ein Körper, somit wäre der Ausdruck "Vektorraum über den Körper K" falsch. verwirrt
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Gerade weil er erst den Körper definiert hat, ist die Menge V ein VR über K.
Der Körper ist zuerst da und dann wird definiert, was ein Vektorraum über diesem Körper ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

kann man nur als Vektorraum definieren, wenn man einen Körper hat, denn ein Teil der Vektorraumaxiome beziehen sich auf die Skalarmultiplikation, also auf die Multiplikation von Körperelementen mit Vektoren. Ohne Körper gibt es keinen Vektorraum. Der ist nur ein Beispiel für einen -dimensionalen Vektorraum über , allerdings ein besonders wichtiges Beispiel, weil jeder -Vektorraum der Dimension zu isomorph ist.
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