Restklassenringe/ Einheiten

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19.09.2017, 14:21	Natasha89	Auf diesen Beitrag antworten »
Restklassenringe/ Einheiten $\begin{eqnarray} f= t^3 + t^2 + t + 1, g = t^2 + 2 t + 3 \in Z5[ t ] . <br /> Bestimmen Sie jeweils, ob die Restklassen<br /> f \in 2 Z5[ t ]/g Z5[ t ] und g \in Z5[ t ]/f Z5[ t ] Einheiten in den angegebenen Ringen sind. Falls ja, so bestimmen<br /> Sie Polynome x; y \in 2 Z5[ t ] mit x f = 1 in Z5[ t ]/g Z5[ t ] und y g = 1 in Z5[ t ]/f Z5[ t ] \end{eqnarray}$ Also ich muss jetzt zuänacht gucken, dass es ein x Elenent z[5]/g gibt, so dass fc = 1 und das gleiche für g, so dass gy=1 Muss ich dass jetzt druch rumrechnen finden oder gibt es da einen Trick ? Ich hab wohl einen Satz der besagt , dass f genau dann eine Einheit in R[t] ist wenn ao eine Einheit in R ist. Kann ich das vielleicht hier einsetzen?
20.09.2017, 08:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde gerne helfen, aber die Aufgabe ist leider nicht lesbar. Wenn du dir bei der Formulierung der Frage mehr Mühe gibst, bekommst du sicher auch Antworten.
20.09.2017, 10:02	Natasha89	Auf diesen Beitrag antworten »
f = t^3 + t^2 + t + 1, g = t^2 + 2 t + 3 $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Z5[ t ] . Bestimmen Sie jeweils, ob die Restklassen $\begin{eqnarray} \vec{f} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Z5[ t ]/ g Z5[ t ] und $\begin{eqnarray} \vec{g} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Z5[ t ]/f Z5[ t ] Einheiten in den angegebenen Ringen sind. Falls ja, so bestimmen Sie Polynome x; y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Z5[ t ] mit $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} \vec{f} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \vec{1} \end{eqnarray}$ in Z5[ t ]/g Z5[ t ] und $\begin{eqnarray} \vec{y} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} \vec{g} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \vec{1} \end{eqnarray}$ in Z5[ t ]/f Z5[ t ] Die Vektoren sollen für Restklassen sein, ich weiss aber nicht wie ich das geschrieben bekomme.
20.09.2017, 11:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In latex schreibt man \overline für Restklasse, also z.B. $\begin{eqnarray} \overline f \end{eqnarray}$ . Mit dem Ring Z5 meinst du vermutlich den Restlassenring $\begin{eqnarray} \mathbb Z_5=\mathbb Z/5\mathbb Z \end{eqnarray}$ . Ich werde nun anfangen, darüber nachzudenken.
20.09.2017, 12:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Heureka, ich hab's In $\begin{eqnarray} \mathbb Z_5[t]/(g) \end{eqnarray}$ kann man rechnen. $\begin{eqnarray} g(t)=t^2+2t+3\equiv 0\Rightarrow t^2\equiv 3t+2\Rightarrow t^3\equiv ... \end{eqnarray}$ erlaubt uns, $\begin{eqnarray} f(t) \end{eqnarray}$ modulo $\begin{eqnarray} g(t) \end{eqnarray}$ zu reduzieren ... und schon ist die Antwort klar. In $\begin{eqnarray} \mathbb Z_5[t]/(f) \end{eqnarray}$ komme ich mit dem kleineren Polynom $\begin{eqnarray} g(t) \end{eqnarray}$ so nicht weiter und mache deshalb den Ansatz $\begin{eqnarray} g(t)(t+a)\equiv b\mod f(t) \end{eqnarray}$ , und auch das führt sehr schnell zum Ziel. (Wäre auch schneller gegangen, aber ich musste erst noch Essen zubereiten, anrichten und gemeinschaftlich verspeisen.)
20.09.2017, 13:34	Natasha89	Auf diesen Beitrag antworten »
Also als erstes setzt du g(t)=0 weil? weil wenn ich f(t) modulo g(t) reduziere hab ich doch t^3-t richtig ? und ich versteeh nicht was für schritte du am Anfang gerechnet hast. :\
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20.09.2017, 14:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} g(t) \end{eqnarray}$ setze ich kongruent 0 modulo $\begin{eqnarray} g(t) \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} g(t)/g(t)=1 \end{eqnarray}$ REST 0, also ist $\begin{eqnarray} \overline {g(t)}=g(t)\mathbb Z_5[t] \end{eqnarray}$ die Nullklasse im Faktorring $\begin{eqnarray} \mathbb Z_5[t]/(g(t))=\mathbb Z_5[t]/g(t)\mathbb Z_5[t] \end{eqnarray}$ . Das ist das Grundprinzip bei Faktorringen R/I , das Ideal I wird beim Faktorisieren nach I immer die Nullklasse im Faktorring. Und nun mal ganz langsam rechnen (ich schreibe = statt kongruent, und da wir in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_5 \end{eqnarray}$ rechnen, werden alle Koeffienzienten modulo 5 berechnet) : $\begin{eqnarray} g(t)=t^2+2t+3=0\Rightarrow t^2=-2t-3=3t+2\Rightarrow t^3=t\cdot t^2=t\cdot (3t+2)=3t^2+2t=3(3t+2)+2t=11t+6=t+1 \end{eqnarray}$ Jetzt setzt du dieses $\begin{eqnarray} t^3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t^2 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} f(t)=t^3+t^2+t+1 \end{eqnarray}$ ein und rechnest solange weiter, bis fast nichts mehr übrig bleibt. Potenzen größer oder gleich $\begin{eqnarray} 2=grad(g(t)) \end{eqnarray}$ können nicht übrigbleiben ! Kongruenzrechnung mod $\begin{eqnarray} g(t) \end{eqnarray}$ = Restrechnung mod $\begin{eqnarray} g(t) \end{eqnarray}$ = Reduktion mod $\begin{eqnarray} g(t) \end{eqnarray}$ = Potenzen von $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ so klein machen wie möglich.
21.09.2017, 10:56	Natasha89	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh ja natrütlich der erste SChritt hatte mir gerade gefehlt.. Super!! Danke!!!!!
21.09.2017, 13:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wäre sehr freundlich von dir, wenn du die beiden Ergebnisse mitteilen würdest. Noch besser wäre die Veröffentlichung der vollständigen Rechnung (sind ja nur ein paar Zeilen). Ich bin sicher, dass man aus diesen einfachen Beispielen viel lernen kann.

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