Taylorreihe Fehlerabschätzung

19.09.2017, 15:28

daniel11

Taylorreihe Fehlerabschätzung

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:

Entwickeln Sie die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(x) \end{eqnarray*}$ in eine Taylorreihe um den Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_{0}=1 \end{eqnarray*}$ .
Geben Sie eine Formel für das Restglied an.
Wieviele Reihenglieder müssen ausgewertet werden, um $\begin{eqnarray*} \ln(2) \end{eqnarray*}$ auf zwei Stellen hinter dem Komma genau zu berechnen?

Für die Reihe hab ich: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{\left(-1\right)^{k+1} }{k} \left(x-1\right)^{k} \end{eqnarray*}$

Für das Restglied: $\begin{eqnarray*} R_{m}(x) =\frac{\left(-1\right)^{k+1}\cdot m!\cdot \frac{1}{\xi^{m+1} } }{\left(m+1\right)! } \left(x-1\right)^{m+1} =\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{m+1}\cdot \frac{1}{\xi^{m+1}} \left(x-1\right)^{m+1} \end{eqnarray*}$

Aber wie komm ich jetzt auf die Antwort auf c? Eine Lösung habe ich, mir geht es mehr um den Weg dahin.

Gruß

Daniel

19.09.2017, 16:05

Helferlein

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Was gibt das Restglied für ein bestimmtes x denn an? Was bedeutet die Forderung "auf zwei Stellen genau" für das Restglied?

19.09.2017, 16:17

daniel11

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Das Restglied gibt den maximalen Fehler für ein bestimmtes x an. "Auf zwei Stellen genau" bedeutet, dass gelten soll $\begin{eqnarray*} | R_{m}(x) | \leq 0,01 \end{eqnarray*}$ , in dem Fall für $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ . Aber was setze ich für $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ein?

19.09.2017, 16:21

Helferlein

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Soweit richtig, bis auf den Schreibfehler, dass k=m sein muss. Das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ist eine Stelle zwischen 1 und 2.
Da Du nicht weißt um welche Stelle es geht, muss der maximale Fehler unterhalb 0,01 liegen.

19.09.2017, 16:36

HAL 9000

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Eigentlich besteht bei einer solchen Formulierung "auf zwei Stellen genau" ein ziemliches Dilemma: Allein auf Basis der Restgliedwertabschätzung ist diese Forderung gar nicht entscheidbar, man muss genau genommen auch den eigentlichen Taylorpolynomwert $\begin{align*} T_m(2) \end{align*}$ einbeziehen!

Wenn z.B. hypothetisch für ein $\begin{align*} m \end{align*}$ der Wert $\begin{align*} T_m(2)=0.694995 \end{align*}$ herauskommt, dann würde selbst $\begin{align*} |R_m(2)| < 0.00001 \end{align*}$ noch keine Entscheidung gestatten, ob denn nun auf zwei Nachkommastellen gerundet 0.69 oder doch eher 0.70 als Funktionswert für ln(2) herauskommt.

Ich schätze mal, die meisten Aufgabensteller sind sich dieses Problems gar nicht bewusst. smile

19.09.2017, 16:45

daniel11

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Zitat:

Original von Helferlein
Soweit richtig, bis auf den Schreibfehler, dass k=m sein muss. Das $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ist eine Stelle zwischen 1 und 2.
Da Du nicht weißt um welche Stelle es geht, muss der maximale Fehler unterhalb 0,01 liegen.

Soweit verstehe ich das, aber wie setze ich das um? Ich habe ja dann eine Gleichung mit $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zwischen 1 und 2 liegt.

19.09.2017, 16:49

daniel11

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So würde ich weitermachen:
$\begin{eqnarray*} 0,01 \geq \frac{1}{m+1} \cdot \frac{1}{\xi^{m+1} } \end{eqnarray*}$

19.09.2017, 17:26

Helferlein

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Ich sprach vom maximalen Fehler. Wie groß wird denn die rechte Seite höchstens?

19.09.2017, 17:56

daniel11

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\xi^{m+1} } \end{eqnarray*}$ wird maximal 1.

Damit könnte ich schreiben $\begin{eqnarray*} 0.01\geq \frac{1}{m+1} \end{eqnarray*}$

Dann wäre $\begin{eqnarray*} m\geq \frac{1}{0.01}-1=99 \end{eqnarray*}$

19.09.2017, 17:57

Dopap

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Das mit der Stellenzahl ist in der Tat schwierig.

Warum verwendet man nicht den Begriff absoluter Fehler. Dann kann man auf die Kenntnis von $\begin{eqnarray*} \ln(2) \,\text{oder }T_m(2) \end{eqnarray*}$ verzichten.

Das ist wohl implizit so gemeint und Daniel11 sieht das mit seinem Ansatz anscheinend auch so.

19.09.2017, 19:53

Dopap

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wie ich gerade sehe kommt auch der absolute Fehler nicht ohne den wahren Wert aus. Der ist nämlich $\begin{eqnarray*} |T_m(2)-\ln(2)| \end{eqnarray*}$ verwirrt

Ich würde deshalb zu

" bestimmen sie m so, dass das Restglied im Betrag mit Sicherheit (...) unterschreitet."

tendieren.

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