Riemann-integrierbar

19.09.2017, 19:18

LauraundLisa

Riemann-integrierbar

Meine Frage:
Hallo ich habe einige fragen zu Rieman-Intgrierbar.

Wir haben folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Die Lösung zur Aufgabe ist :

Die Reihe ist Rieman Integrierbar da Ober und Untersumme gleich sind daraus folgt :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} dx \leq \int_{0}^{n} \frac{1}{n+x} \! \, dx =ln(2) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} dx \geq \int_{1}^{n+1} \frac{1}{n+x} \! \, dx =ln(2) \end{eqnarray*}$ .

Meine Frage zu dieser Aufgabe ist :

Wie sieht man das Ober und untersumme gleich ist ?
Und Die Ober und untergrenze der Integrale sind einmal von 0 bis n und dann von 1 bis n+1 wie kommt man drauf ?
und ist es immmer so das die Ober und untergrenze so sind ?

Ich würde mich freuen wenn jemand mir diese Fragen beantworten kann

19.09.2017, 19:59

HAL 9000

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$\begin{align*} x\mapsto \frac{1}{n+x} \end{align*}$ ist eine monoton fallende Funktion.

Damit werden die Funktionsminima in den Teilintervallen jeweils am rechten Intervallrand, und die entsprechenden Funktionsmaxima jeweils am linken Intervallrand angenommen.

Der Rest ist Fleißarbeit beim Aufschreiben der Riemannschen Unter- und Obersummen bei Intervalleinteilung mit Intervallbreite 1.

Einige Anmerkungen zu deinem Aufschrieb:

1. Sämtliche an Summen angehängten $\begin{align*} dx \end{align*}$ sind Unfug - weg damit!

2. $\begin{align*} \int\limits_1^{n+1} \frac{1}{n+x} ~ \dd x \stackrel{?}{=} \ln(2) \end{align*}$ ist falsch - rechne bitte richtig nach!

3. "Die Reihe ist Riemann-integrierbar" ist doppelt Unfug: Zum ersten gibt es hier gar keine Reihe zu betrachten, sondern nur Summen. Zum zweiten ist es allenfalls die Funktion $\begin{align*} x\mapsto \frac{1}{n+x} \end{align*}$ , welche hier (bezogen auf die genannten Intervalle) riemann-integrierbar ist.

19.09.2017, 23:25

Lauraundlisa

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hä ich check jetzt nichts mehr geschockt

Ich wollte doch nur wissen ob beim Integral immer sie ober und untergrenze 0 nach n und 1 bis n+1 ist verwirrt

19.09.2017, 23:44

HAL 9000

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Beruht wohl auf Gegenseitigkeit, denn diese "Sprache"

Zitat:

Original von Lauraundlisa
ob beim Integral immer sie ober und untergrenze 0 nach n und 1 bis n+1 ist verwirrt

checke ich nicht.

Und wenn du meine Hinweise, was in deinem Beitrag alles schief gelaufen ist, nicht annehmen willst, dann lass es eben bleiben.

20.09.2017, 11:54

Lauraundlisa

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doch ich nehme das dankend an. Vielen Dank.
Nur stell mal vor so etwas kommt in der Klausur vor muss ich dann die Integralgrenzen genauso wählen wie unten in der Aufgabe ?

20.09.2017, 12:45

HAL 9000

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Ok, was ist hiermit:

Zitat:

Original von HAL 9000
2. $\begin{align*} \int\limits_1^{n+1} \frac{1}{n+x} ~ \dd x \stackrel{?}{=} \ln(2) \end{align*}$ ist falsch - rechne bitte richtig nach!

Hast du das getan, das Nachrechnen?

Offenbar nicht. Richtig ist $\begin{align*} \int\limits_1^{n+1} \frac{1}{n+x} ~ \dd x = \ln(2n+1)-\ln(n+1) = \ln\left(2-\frac{1}{n+1}\right) \end{align*}$ . Damit machen die Abschätzungen erst richtig Sinn, wir haben dann nämlich die Einschachtelung

$\begin{align*} \ln\left(2-\frac{1}{n+1}\right) \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \leq \ln(2) \end{align*}$ ,

gültig für alle natürlichen Zahlen $\begin{align*} n\geq 1 \end{align*}$ . Mit deiner Variante oben käme man auf Gleichheit $\begin{align*} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \stackrel{?}{=} \ln(2) \end{align*}$ , was offensichtlich falsch ist, man betrachte nur mal $\begin{align*} n=1 \end{align*}$ . unglücklich

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