Potenzmenge

19.09.2017, 21:17

Peter0001

Potenzmenge

Hallo,

wäre bitte einmal jemand so nett, mir auf einfach Art und Weise zu erklären, was das folgende für eine Potenzmenge ist, btw. wie man diese Menge anders schreiben kann?

$\begin{eqnarray*} 2^{\left \{ 4,3,2,1 \right \}} \end{eqnarray*}$

Ich komme mit der Menge in der Potenz nicht zurecht.

$\begin{eqnarray*} 2^1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 2^4 \end{eqnarray*}$ leuchtet mir ja noch ein, aber mit einer Mengenangabe in der Potenz???

Achja, falls es wichtig ist, die gesamte Aufgabe ist zu begründen, ob
$\begin{eqnarray*} {\left \{ 1,2,3 \right \}} \in 2^{\left \{ 4,3,2,1 \right \}} \end{eqnarray*}$
wahr oder falsch ist.

Vielen Dank!

Grüße Peter

19.09.2017, 21:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Peter0001
was das folgende für eine Potenzmenge ist, btw. wie man diese Menge anders schreiben kann?

$\begin{eqnarray*} 2^{\left \{ 4,3,2,1 \right \}} \end{eqnarray*}$

Du sagst es doch selbst: Damit ist die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} \{ 4,3,2,1 \} \end{eqnarray*}$ gemeint, d.h., die Menge aller 16 Teilmengen dieser Menge $\begin{eqnarray*} \{ 4,3,2,1 \} \end{eqnarray*}$ .

19.09.2017, 22:02

Leopold

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$\begin{align*} 2 \end{align*}$ steht hier symbolisch für eine zweielementige Menge, sagen wir $\begin{align*} \{ 0,1 \} \end{align*}$ . Und mit

$\begin{align*} \{ 0,1 \}^{\{ 4,3,2,1 \}} \end{align*}$

ist die Menge aller Abbildungen von $\begin{align*} \{ 4,3,2,1 \} \end{align*}$ nach $\begin{align*} \{ 0,1 \} \end{align*}$ gemeint. Eine solche Abbildung $\begin{align*} M \end{align*}$ kann durch eine Wertetabelle angegeben werden, zum Beispiel

$\begin{align*} M = \begin{matrix} 4 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{matrix} \end{align*}$

Wenn man jetzt $\begin{align*} 0 \end{align*}$ als $\begin{align*} \not \in \end{align*}$ ("gehört nicht dazu") und $\begin{align*} 1 \end{align*}$ als $\begin{align*} \in \end{align*}$ ("gehört dazu") interpretiert, dann kann man $\begin{align*} M \end{align*}$ auch mit der Menge $\begin{align*} \{ 3,2 \} \end{align*}$ identifizieren. Da es nach elementarer Kombinatorik 16 verschiedene Quadrupel aus $\begin{align*} 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} 1 \end{align*}$ gibt, gibt es auch 16 mögliche Teilmengen von $\begin{align*} \{ 4,3,2,1 \} \end{align*}$ , angefangen von $\begin{align*} 0000 \end{align*}$ ("kein Element gehört dazu"), das für die leere Menge $\begin{align*} \emptyset \end{align*}$ steht, bis $\begin{align*} 1111 \end{align*}$ ("alle Elemente gehören dazu"), das für die volle Menge $\begin{align*} \{ 4,3,2,1 \} \end{align*}$ steht.

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