Verständnisfrage Approximationssatz für messbare Funktionen

20.09.2017, 08:56	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisfrage Approximationssatz für messbare Funktionen Der Approximationssatz besagt ja, dass ich jede messbare Funktion als punktweisen Grenzwert einer Folge von Treppenfunktionen darstellen kann. Zum Beweis kann man da einfach eine solche Treppenfunktion angeben. $\begin{eqnarray} f_n(x)=\begin{cases} 2^n & wenn\; f(x) \geq2^n \\ \frac{k}{2^n} & wenn\; \frac{k}{2^n} \leq f(x) \textless \frac{k+1}{2^n}, k= -4^n,...,4^n-1\\ -2^n & wenn\; f(x)\textless -2^n \end{cases} \end{eqnarray}$ Meine Frage: Warum brauche ich hier die Messbarkeit? Danke für eure antowrten
20.09.2017, 11:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann deine Treppenfunktionen so schreiben: $\begin{align} f_n(x) = \sum_{k=-4^n-1}^{4^n} a_k \cdot 1_{B_k}(x) \end{align}$ mit Koeffizienten $\begin{align} a_k = \begin{cases} -2^n &\;\mbox{für}\;k=-4^n-1<br /> \frac{k}{2^n} &\;\mbox{für}\;-4^n\leq k\leq 4^n-1<br /> 2^n &\;\mbox{für}\;k=4^n\end{cases} \end{align}$ die nicht von $\begin{align} f \end{align}$ abhängen, aber die Mengen $\begin{align} B_k = \begin{cases} f^{-1}\left(\left(-\infty,-2^n\right)\right) &\;\mbox{für}\;k=-4^n-1<br /> f^{-1}\left(\left[\frac{k}{2^n},\frac{k+1}{2^n}\right)\right) &\;\mbox{für}\;-4^n\leq k\leq 4^n-1<br /> f^{-1}\left(\left[2^n,\infty\right)\right) &\;\mbox{für}\;k=4^n\end{cases} \end{align}$ tun dies sehr wohl: Die Messbarkeit von $\begin{align} f \end{align}$ sichert nun die Messbarkeit der Indikatorfunktionen $\begin{align} 1_{B_k} \end{align}$ , und damit auch die von $\begin{align} f_n \end{align}$ .
20.09.2017, 14:41	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für deine Antwort

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