Summe der Produktreihe

20.09.2017, 14:20

MathNoob28

Summe der Produktreihe

Hallo, ich möchte folgende Reihensumme gerne berechnen:

$\begin{eqnarray*} \prod_{p \in \mathbb P}\frac{1}{1-\frac{1}{p^2} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{p^2} } \end{eqnarray*}$ schaut aus wie Reihensummenformel für die geometrische Reihe, also kann man insgesamt ja die Reihe wie folgt umschreiben:
$\begin{eqnarray*} \prod_{p \in \mathbb P}\sum\limits_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{p^2})^k \end{eqnarray*}$

Jetzt fehlt mir die weitere Idee. Wenn ich die ersten 3 Glieder ausschreibe, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} (1+ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4}....) \cdot ( 1+ \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^4}....)\cdot ( 1+ \frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^4}...) ... \end{eqnarray*}$
Ich komme leider nicht weiter Hammer

20.09.2017, 14:30

HAL 9000

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Richtige Ideen, es fehlt nur ein entscheidender Schritt: Es ist

$\begin{align*} \prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-\frac{1}{p^s}} = \prod_{p\in\mathbb{P}} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{p^{sk}} \stackrel{!}{=} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \zeta(s) \end{align*}$ ,

im Fall $\begin{align*} s=2 \end{align*}$ also $\begin{align*} \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6} \end{align*}$ . Die Begründung für $\begin{align*} \stackrel{!}{=} \end{align*}$ steckt in der Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung der Zahl $\begin{align*} n \end{align*}$ . Augenzwinkern

20.09.2017, 15:24

MathNoob28

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Zitat:

Original von HAL 9000
Die Begründung für $\begin{align*} \stackrel{!}{=} \end{align*}$ steckt in der Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung der Zahl $\begin{align*} n \end{align*}$ . Augenzwinkern

D.h da jede natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung durch Primzahlen besitzt, wird durch diese Produkt Summe jede natürliche Zahl erzeugt oder?

20.09.2017, 15:26

HAL 9000

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Ja! $\begin{align*} n \end{align*}$ besitzt die eindeutige Primfaktorzerlegung $\begin{align*} n = \prod_{p\in\mathbb{P}} p^{\nu_p(n)} \end{align*}$ , dabei kennzeichnet $\begin{align*} \nu_p(n) \end{align*}$ wie oft $\begin{align*} n \end{align*}$ durch $\begin{align*} p \end{align*}$ teilbar ist, d.h., es ist die größte Zahl $\begin{align*} k \end{align*}$ mit $\begin{align*} p^k \mid n \end{align*}$ . Entsprechend ist dann $\begin{align*} \frac{1}{n^s} = \prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{p^{s\nu_p(n)}} \end{align*}$ , und diese Zahl rechts findet sich in dem Term

$\begin{align*} \prod_{p\in\mathbb{P}} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{p^{sk}} \end{align*}$

an genau einer Stelle wieder, indem man zu jedem $\begin{align*} p\in\mathbb{P} \end{align*}$ den Index $\begin{align*} k=\nu_p(n) \end{align*}$ anschaut.

20.09.2017, 15:27

MathNoob28

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ja verstehe ich. Vielen Dank HAL 9000. Perfekt erklärt Freude

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