Fourier Transformation

20.09.2017, 16:54	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Fourier Transformation Guten Tag zusammen. Ich habe gerade etwas Mühe mit dem Thema der Fourier-Transformation. Und zwar haben wir die Inverse Fouriertransofomration folgendermassen definiert: $\begin{align} f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\tilde{f}(\omega) e^{i\omega t}\dd \omega \end{align}$ . Angenommen ich möchte nun die Fourier-Transformation von $\begin{align} f(t)=e^{i\omega_0 t} \end{align}$ bestimmen. Mit einsetzen in die Gleichung kommt man nicht wirklich weiter, also mit der inversen Fourier-Transfo versuchen. $\begin{align} f(t)=e^{i\omega_0 t} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\tilde{f}(\omega) e^{i\omega t}\dd \omega \end{align}$ . Ich weiss, dass $\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-a)\dd x= f(a) \end{align}$ ergibt. Meine Idee war es also $\begin{align} \tilde{f}(\omega)=\sqrt{2\pi}\delta(\omega-\omega_0) \end{align}$ zu setzen, denn dann gilt: $\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{2\pi}\delta(\omega-\omega_0) e^{i\omega t}\dd \omega=e^{i\omega t}\Big\|_{\omega=\omega_0}=e^{i\omega_0 t} \end{align}$ . Nun heisst es aber, dass $\begin{align} \tilde{f}(\omega)=2\pi\delta(\omega-\omega_0) \end{align}$ sein soll... Die Frage ist also, wieso genau darf man die Wurzel weglassen, und was passiert dann mit dem $\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \end{align}$ ? Gruss Sito
20.09.2017, 17:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Grundsatzfrage: Warum willst du bei gegebener Funktion $\begin{align} f \end{align}$ zur Bestimmung der Fouriertransfomierten $\begin{align} \tilde{f} \end{align}$ die Inverse Fouriertransformation anwenden? Zu diesem Zweck ist doch die (direkte) Fouriertransformation $\begin{align} \tilde{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} ~ \dd t \end{align}$ da! EDIT: Hmm Ok, du arbeitest nicht mit Funktionen, sondern Distributionen.
20.09.2017, 17:27	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir Leid, jetzt bist du mir ein bisschen zu schnell... Falls die Antwort auf meine Frage die Aussage zu den Distributionen ist, verstehe ich sie leider überhaupt nicht. Zu der Frage wieso ich mit der IFT gearbeitet habe, wenn ich die direkte verwende schaffe ich es nicht das Integral zu lösen, bzw. erhalte nichts sinnvolles..
20.09.2017, 17:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, $\begin{align} \tilde{f}(\omega)=\sqrt{2\pi}\delta(\omega-\omega_0) \end{align}$ ist richtig. Möglicherweise rührt das Missverständnis daher: Manche Autoren skalieren die Fouriertransformierte "anders", d.h., sie setzen $\begin{align} \tilde{f}(\omega) := \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} ~ \dd t \end{align}$ und packen den fehlenden Faktor in die inverse Transformation $\begin{align} f(t) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\omega) e^{i\omega t} ~ \dd\omega \end{align}$ . Möglicherweise hast du deine Formel $\begin{align} \tilde{f}(\omega)=2\pi\delta(\omega-\omega_0) \end{align}$ aus einer Quelle, die diese Betrachtungsweise pflegt, dort würde das Sinn machen.
20.09.2017, 22:15	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Besten Dank für den Hinweis. Wusste nicht, dass es möglich ist das ganze auch anders zu definieren!
21.09.2017, 09:23	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Siehe dazu auch Wiki. Viele Grüße Steffen
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