Abschätzung Sobolev-Normen

20.09.2017, 19:26	alina94	Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzung Sobolev-Normen Hey, Ich habe hier eine kurze Frage zur Abschätzung $\begin{eqnarray} \|\| \Delta u \|\|_{H^{k,2}} \leq c \|\| u \|\|_{H^{k+2,2}} \end{eqnarray}$ Folgt das einfach aus der Definition der Sobolev-Normen, die ja die über alle Ableitungen summieren, oder übersehe ich gerade etwas und man benötigt Poincaré? Die Frage ist vermutlich blöd, aber ich bin mir gerade nicht sicher. Wäre top, wenn mir das kurz jemand sagen könnte
20.09.2017, 21:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschätzung Sobolev-Normen Die Abschätzung ist recht trivial. Aber zu beachten ist, dass $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ von der Raumdimension abhängt. Sagen wir diese ist $\begin{eqnarray} n = 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k = 0 \end{eqnarray}$ . Dann stehen links (nach Quadrieren beider Seiten) links Integrale ueber $\begin{eqnarray} (\partial_{xx} u + \partial_{yy u})^2 = (\partial_{xx} u)^2 + (\partial_{yy} u)^2 + 2 \partial_{xx} u \partial_{yy} u \end{eqnarray}$ . Rechts steht (wenn man den Summanden mit weniger als 2 partiellen Ableitungen absieht) dann Integrale ueber $\begin{eqnarray} (\partial_{xx} u)^2 + (\partial_{yy} u)^2 \end{eqnarray}$ . Durch das Quadrieren stehen links also mehr Terme. Aber kann alle abschaetzen (z.B. mit Young oder "endlich-dimensionale Normen sind äquivalent).
21.09.2017, 16:35	alina94	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohje, natürlich. Da habe ich gestern wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen. Danke dir!

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