Beweis Austauschsatz |
21.09.2017, 16:14 | MathNoob28 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beweis Austauschsatz Es sei sei eine Basis von V . Ist zudem ein in V linear unabhängiges System, so können wir durch Umnummerierung der erreichen, dass durch Austausch von mit den ersten r Elementen der Basis eine neue Basis von V entsteht. Insbesondere ist . Soweit die Aufgabenstellung. Als Hinweis ist gegeben, dass man für den Beweis vollständige Induktion benutzen soll? Wie kommt man darauf und 2. wie soll man das dann genau machen. Vollständige Induktion habe ich bis jetzt nur bei Gaußsche Summenformel z.B kennengelernt? |
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21.09.2017, 16:38 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weil es zweckmäßig ist. (Welcher Zwang treibt die Leute eigentlich immer an diese Frage zu stellen? Als ob da jemals eine brauchbare Antwort drauf gekommen wäre.) Weise die Aussage durch Vollständige Induktion über nach, d.h. die Anzahl der auszutauschenden Vektoren. Im Induktionsanfang r=0 ist überhaupt nichts nachzuweisen, weil nix ausgetauscht wird. Im Induktionsschritt : nutzen wir die Induktionsvoraussetzung, dass wir so austauschen können, dass (nach evtl. Umnummerierung) über bleiben und gemeinsam mit eine Basis bilden. Nachzuweisen wäre nun nur noch, dass man gegen einen der Vektoren austauschen kann. Offenkundig besitzt nun eine eindeutige Darstellung in dieser Basis, d.h. . Wie könnte es nun weiter gehen? |
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21.09.2017, 21:37 | MathNoob28 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok Danke für die Hilfestellung. Was ich nicht genau verstehe ist, was diese Umnummerierung genau bedeuten soll? Wie könnte es nun weiter gehen? Also ich würde sagen die a_r+1 ....a_n können nicht 0 sein, da sonst die w_1,..., w_r linear abhängig wären. Insbesonder ist dann a_r+1 nicht 0, deshalb kann man v_r+1 mit w_r+1 austauschen? |
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22.09.2017, 07:48 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Teilweise richtig: sind linear abhängig, sofern ist, letzteres kann also nicht zutreffen. Das spricht aber nicht dagegen, dass einzelne oder mehrere der gleich Null sind - es darf lediglich nicht auf alle zutreffen! Insofern ist deine Folgerung falsch. |
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22.09.2017, 12:11 | MathNoob28 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie geht jetzt die Schlussfolge weiter? Ich verstehe nicht ganz was diese Umnummerieren bedeuten soll? |
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22.09.2017, 12:45 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir wissen, dass nicht alle sind für , anders formuliert: Es gibt einen Index mit . Und jetzt tauschst du eben nicht gegen , sondern gegen . D.h., mit "Umnummerieren" ist gemeint, dass und quasi die Plätze tauschen vor (!) der Austauschoperation mit . Vielleicht solltest du das ganze Austauschprozedere mal manuell durchexerzieren an einem ganz primitiven Beispiel, z.B. folgendes für und nacheinander : Damit über die (vielleicht zu trockenen) Formeln hinaus ein Verständnis entwickelst, was da wirklich passiert. |
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22.09.2017, 13:28 | MathNoob28 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für deine Hilfe. Also zu deinem Beispiel. Wir haben zwei linear unabhängige Systeme. Wir wollen jetzt die w vektoren mit dem vs austauschen. Bevor dem Tauschprozess wird umnummeriert. D.h v1 wird zu v3, v2 zu v1, v3 zu v2. Dann ich die ws mit den vs tauschen. So richtig? |
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22.09.2017, 14:16 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hatte es so gemeint, dass es sich durch diese im Induktionsschritt oben erwähnte Rechnung ergibt! Also startend bei ergibt sich die Darstellung mit . Getauscht werden kann nun mit alle , für die . Dafür gibt es hier aber nur eine Möglichkeit (i.a. werden es mehr sein), nämlich . Also wird gegen getauscht, die neue Basis ist mit durch den Tausch "neu" entstandenen . Der Vektor bleibt erhalten, d.h., . Im Schritt ist mit . Diesmal kann mit getauscht werden, es entsteht durch Tausch schließlich die Basis mit . Schlussendlich haben wir mit , und es wird gegen ausgetauscht - klar, im letzten Schritt gibt es nur noch diese eine Möglichkeit. |
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22.09.2017, 14:27 | MathNoob28 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aso meinst du das. Danke für deine ausführliche Erklärung. Jetzt verstehe ich was genau gemeint ist und wie der Prozess abläuft Gibts beim Beweis noch was zu machen? |
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22.09.2017, 14:40 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
An sich nicht, mit dem Tausch von mit dem erwähnten ist der Induktionsschritt komplettiert, denn das nach dem Austausch erhaltene ist eine Basis von . |
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22.09.2017, 14:41 | MathNoob28 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Besten Dank HAL 9000. Tut gut so einen Beweis komplett zu verstehen. |
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