Potential Drehmoment

21.09.2017, 17:54

Babelibub

Potential Drehmoment

Meine Frage:
Hallo Liebe Mathematiker,
Ich habe mehr eine physikalische Frage, aber da ich einmal hier angemeldet bin, wollte ich hier mein Glück versuchen smile

Also, gegeben ist eine Punktmasse, die sich im Potential
$\begin{eqnarray*} V(|r|) \end{eqnarray*}$ bewegt
Ich soll nun das angreifende Drehmoment und den Zusammenhang zum Drehimpuls angeben.

Meine Ideen:
Das Drehmoment ist ja definiert als:

$\begin{eqnarray*} M = r \times F \end{eqnarray*}$ und
ich möchte nun die Kraft F mit $\begin{eqnarray*} F = - \nabla V \end{eqnarray*}$ bestimmen.

$\begin{eqnarray*} \nabla V(|r|) = V'(|r|) \nabla |r| = V' (|r|) e_{r} \end{eqnarray*}$
Wenn ich nicht falsch liege.

Nun weiß ich nicht genau in welche Koordinaten ich übergehen soll. Dies ist auf für spätere Aufgaben nörig.
Soll ich zu Zylinderkoordinaten oder Polarkoordinaten übergehen? Woran erkennt man das?

Somit wäre ja das Drehmoment 0 und der Drehimpuls const.

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen und bedanke mich für jegliche Form der Unterstützung.

22.09.2017, 08:44

Ehos

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Wie du richtig schreibst, lautet das Drehmoment eines Massepuntes in einem Potenzial V.

$\begin{eqnarray*} \vec M=\vec r \times \underbrace{(-\nabla V)}_{\vec F} \end{eqnarray*}$

Die Koordinaten sollte man so wählen, dass die Rechnung möglichst einfach einfach wird. Dafür gibt es keine starren Regeln.

Beispiel 1:
Hat man z.B. ein Potenzial, das nur vom Abstand $\begin{eqnarray*} |\vec r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$ vom Koordinatenursprung abhängt, wählt man Kugelkoordinaten. Dies wäre der Fall, wenn man das Drehmoment der Erde im Gravitationsfeld der Sonne bestimmt. In diesem Falle verschwindet das Drehmoment, weil der Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \vec r \end{eqnarray*}$ parallel zum Kraftvektor $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ liegt.

Beispiel 2:
Hat man z.B. ein Potenzial, das nur vom Abstand $\begin{eqnarray*} |\vec r|=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ von der z-Achse abhängt, wählt man Zylinderkoordinaten. Dies wäre der Fall, wenn man eine Masse hat, die entlang der z-Achse "verschmiert" ist - und um diese Masse kreist ein Massepunkt.

22.09.2017, 16:43

Babelibub

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Vielen Dank für deine Antwort.

Also ich habe ja schoneinmal die Kraft berechnet. Da die Kraft nur eine Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \vec{e_{r}} \end{eqnarray*}$ hat (insowfern das richtig ist), würde ich das Potential in Polarkoordinaten darstellen damit es einfach wird. Liege ich da richtig?

23.09.2017, 21:18

Babelibub

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Liege ich damit richtig? smile

25.09.2017, 08:45

Ehos

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Wenn die Kraft nur vom (skalaren) Abstand $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$ abhängt, hängt sie also gerade nicht vom Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec e_r \end{eqnarray*}$ ab.

In diesem Falle sollte man die Kraft in Polarkoordinaten darstellen, weil man dann anstelle der 3 Koordinaten x,y,z nur noch die eine Koordinaten r berücksichtigen muss, was die Rechung stark vereinfacht.

25.09.2017, 11:36

moody_ds

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https://www.physikerboard.de/ptopic,306160.html#306160

26.09.2017, 00:18

Babelibub

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moody_ds, ich habe erst jetzt durch deinen Link gesehen das es dort schon einen Beitrag gibt. Ich entschuldige mich aber ich habe diesen Thread zuerst geschrieben von daher werde ich einfach weiter fragen. Trotzdem vielen Dank smile

@Ehos
Damit würde ja dann auch das Drehmoment null werden. Was die gesamte Aufgabe einfach macht. Also kann man das so wählen wie es am einfachsten ist.

Eine weitere Teilaufgabe ist folgende:

Man soll für das spezielle Potential $\begin{eqnarray*} V(|r|) = \frac{V_{0}}{4a^{4}} r^{4} \end{eqnarray*}$ den Radius und die Winkelgeschwindigkeit bestimmen in Abhängigkeit von L, m, a, Vo

Der Radius war kein Problem, dazu brauchte man ja nur das minimum des Effektiv Potential bestimmen. Aber bei der Winkelgeschwindigkeit habe ich keinen Ansatz. Kann auch daran liegen, das es schon sehr spät ist.

26.09.2017, 18:46

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Zitat:

Original von Babelibub
Aber bei der Winkelgeschwindigkeit habe ich keinen Ansatz

Da braucht man auch keinen Ansatz smile

$\begin{eqnarray*} L=mr^2\omega \end{eqnarray*}$

26.09.2017, 21:06

Babelibub

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Ahh so einfach?
Also einfach den berechneten Radius einsetzen und umstellen. Das erschien mir zu einfach. Big Laugh