Reihenlösung der Laplace-Gleichung

21.09.2017, 18:42	vogs	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenlösung der Laplace-Gleichung Hallo, ich wende mich wieder mal an euch und bitte euch um eure versierten Ratschläge zu folgender Problemstellung: Es wird angenommen, dass $\begin{eqnarray} \phi(x,y) \end{eqnarray}$ die Laplace-Gleichung ( $\begin{eqnarray} \nabla ^2 \phi=0 \end{eqnarray}$ ) erfüllt, beliebig of differenzierbar ist und bezüglich y gerade ist ( $\begin{eqnarray} \phi(x,-y)=\phi(x,y) \end{eqnarray}$ ). Die Werte von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ entlang der x-Achse sind bekannt, also $\begin{eqnarray} f(x)=\phi(x,0) \end{eqnarray}$ ist gegeben. Nun soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ durch folgende Reihe dargestellt werden kann: $\begin{eqnarray} \phi(x,y) = \sum_{n=0}^\infty C_n f^{(2n)}(x)y^{2n} \end{eqnarray}$ Weiters sollen die Koeffizienten $\begin{eqnarray} C_n \end{eqnarray}$ bestimmt werden. Leider hab ich nicht wirklich eine Ahnung, wie ich das angehen soll. Zuerst hätt ich auf die gegebene Reihe mal den Laplace Operator angewendet (also 2x nach x und 2x nach y differenziert). Leider kann ich daraus aber nicht wirklich etwas erkennen. Besten Dank im Voraus!
23.09.2017, 16:57	vogs	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt ist meine einzige Idee bis jetzt, mal in die Laplace-Gleichung einzusetzen. Das ergibt bei mir folgendes: $\begin{eqnarray} \nabla ^2 \phi = \sum_{n=0}^\infty C_n (f^{(2n+2)}(x)y^{2n}+f^{(2n)}(x)(4n^2-2n)y^{2n-2}) \end{eqnarray}$ Leider kann ich daraus, außer der trivialen Lösung, sonst nichts erkennen.
23.09.2017, 17:28	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit kannst du die Darstellung nicht herleiten. Damit könntest du bestenfalls die Koeffizienten bestimmen, wenn du annimmst so eine Darstellung gibt es. Das einzige was ich momentan habe ist: Führe eine Taylorentwicklung von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ NUR in der $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ Variable im Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} (x,0) \end{eqnarray}$ durch. Da $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ gerade ist, fallen alle Terme mit ungeraden Exponenten in $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ weg. Als nächstes benutzt man, dass $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ harmonisch ist, um die partiellen Ableitungen von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ durch die in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ zu ersetzen. Ich habe das Gefühl es gibt etwas eleganteres, aber damit geht es.

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