Punkt Ebene Abstand

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Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »
Punkt Ebene Abstand
Hallo zusammen,

wenn ich eine Ebene E : 2 x1 + x2 + 3x3 = 2 habe und einen Punkt P(2|2|2), wie bestimme ich dann den Abstand zwischen Punkt und Gerade?

Ich weiß zwar, es geht über die Hessesche Normalenform, aber dafür bräuchte ich dann noch einen weiteren Aufpunkt, der in der Ebene liegen muss. Oder wie macht man das sonst?

LG, Asca
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Um aus deiner Normalenform eine hessesche zu machen, musst Du sie nur durch die Länge des Normalenvektors teilen. Anschließend setzt Du die Koordinaten des Punktes P ein und schon hast Du den Abstand.
 
 
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ich habe die Ebene ja gar nicht in Normalenform vorliegen. Sie liegt ja in Koordinatenform vor. Das mit dem Betrag des Normalenvektors bekomme ich hin. Aber wie sieht con der vorliegenden Aufgabe ausgehend die Normalenform aus?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Koodinatenform, ok. Aber daraus die Normalenform zu entwickeln ist nicht wirklich schwer. Für die hessesche Normalform reicht die gegebene Form aber völlig aus.
Kannst Du den verwendeten Normalenvektor ablesen?
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Der Normalenvektor ist einfach nur durch Ablesen zu ermitteln.



Diesen muss ich dann nur auf seinen Einheitsvektor bringen, was mir auf gelingt. Und die Hessesche Form lautet dann.



Bis dahin komme ich. Aber wo setze ich dann den Punkt ein?

Wie bringe ich die Ebenengleichung in Koordinatenform auf die HNF?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du setzt für x den Punkt ein und das Ergebnis(Was dann nicht mehr Null ist) ist der gesuchte Abstand.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ascareth
Wie bringe ich die Ebenengleichung in Koordinatenform auf die HNF?

Da musst du mal näher erklären, wo es noch klemmt, denn die vorgenannten Sätze ("was mir gelingt", "bis dahin komme ich") klingen ja doch so, als beherrschst du das Verfahren. verwirrt
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem ist, wenn ich für x den Punkt einsetze, woher nehme ich dann einen Aufpunkt a, wenn ich nicht die Parameterform sondern die Koordinatenform der Ebene vorliegen habe?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah Ok, das ist es. Du brauchst den Punkt nicht, wenn du die HNF in der Form vorliegen hast, genügt das auch (in dieser Form ist die Ebenendarstellung abgesehen von dem Vorzeichen von sogar eindeutig), siehe hier.

In deinem Fall ist also die (vorzeichenbehaftete) Abstandsfunktion eine Punktes von deiner Ebene gleich

.
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Also irgendwas klappt nicht. Mal ganz konkret:

Q( 3 | 3 | 3)
E : 2 x1 + 2 x2 + x3 = 3

Es ergibt sich daraus:
;;; d = 3

Einsetzen in:







Stimmt aber nicht, wie ich in GeoGebra ermitteln habe. Der Abstand muss 4 sein. Was habe ich falsch gemacht? Oder ist die Rechnung richtig? Dann hätte ich möglicherweise einen Fehler in GeoGebra gemacht - kann ich mir kaum vorstellen.
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend,

dein Fehler liegt hier:
Zitat:
d = 3

Du musst die gesamte Gleichung mit 1/3 multiplizieren.
D.h
d = (1/3*3
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eben! Ich hab ja oben auch nicht das falsche geschrieben, sondern

Zitat:
Original von HAL 9000
.
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

smile
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