Logisches Problem mit Implikationen

21.09.2017, 22:55

Michel99

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Logisches Problem mit Implikationen

Guten Tag, Willkommen

Willkommen

wie der Titel schon sagt habe ich ein Problem mit der Definition der Implikation, also A->B. In einer Wahrheitstabelle mit den Variablen A und B, wird sie wie folgt Definiert:

A_____B_____A->B
W_____W_____W
W_____F _____F
F_____W_____W
F_____F______W

Nun, mit den ersten beiden Zusammenhängen habe ich kein Problem.
(allgemein verwendetes) Beispiel:_Wenn es regnet, ist die Straße nass.________Wahr
_____________________________Wenn es regnet, ist die Straße trocken._____Falsch
Das ist offensichtlich. Aber nun folgen die beiden Zusammenhänge:
_____________________________Wenn es nicht regnet, ist die Straße nass.___Wahr
_____________________________Wenn es nicht regnet, ist die Straße trocken._Wahr
Eigentlich dürfte man diese beiden Aussagen überhaupt nicht mit A->B in Verbindung bringen. Man müsste sie also frei lassen, denn da A nicht eingetroffen ist, kann man auch nicht beurteilen, ob A einen Einfluss der Form, dass die Straße nass wird, falls es regnet, auf B hat. böse

böse

Wenn weder A, noch B nicht eingtroffen ist, dann bestätigt dies nicht die These, dass das Nichteintretten von A das Nichteintretten von B verursacht hat. Und wenn B eingetroffen ist, aber A nicht, so bestätigt dies nicht, dass A dazu in der Lage ist B herbeizuführen.
Wo ist mein Denkfehler? Ich verfüge noch über genug logisches Geschick, um zu verstehen, dass ich irgendwo einen Denkfehler gemacht haben muss, denn innerhalb von ca. 2400 Jahren wäre andernfalls schon jemand anders darauf gekommen, dass diese Definition in Wirklichkeit unlogisch ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hilfe

traurig

MfG Michel

22.09.2017, 08:13

Elvis

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Die beiden letzten Implikationen kann man zusammenfassen zu der einen Aussage "wenn es nicht regnet ist die Straße nass oder trocken". Es kann ein Hund darauf gepinkelt haben oder die Straßenreinigung war gerade da, dann ist sie nass. Wenn nicht, dann ist sie trocken. Logisch gesehen folgt jede Aussage aus einer falschen Aussage. Übrigens ist die Aussagenlogik, beruhend auf der Booleschen Algebra, eine Erfindung der Neuzeit.

22.09.2017, 09:24

Dopap

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eine Implikation im Sinne einer Folgerung ist keine Verknüpfung sondern eine Relation. Wenn du die Wahrheitstabelle verwenden willst,
dann verwende die Subjunktion von 2 logischen Variablen: $\begin{eqnarray*} A \to B \end{eqnarray*}$ . Das ist dann eine Funktion $\begin{eqnarray*} \{w,f\}^2\to \{w,f\} \end{eqnarray*}$

Wenn man " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ " als Verknüpfung verwendet, dann ist " $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ "
aber auch eine Verknüpfung . [ dieser Satz ist eine Folgerung (Implikation ) und es macht keinen Sinn den mit Wahrheitswerten zu belegen !!! ]

Pass auf ob dann nicht irgendwo unter "Formeln" steht:

$\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \Leftrightarrow \lnot A \lor B \end{eqnarray*}$

ein Mischmasch der Begriffe. Man müsste schon "Tautologien" als Überschrift verwenden.

Manchmal findet man auch unter Formeln:

$\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B = \lnot A \lor B \end{eqnarray*}$ was zumindest nicht Inkonsistent ist.

22.09.2017, 10:52

Michel99

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Zitat:

Original von Elvis Die beiden letzten Implikationen kann man zusammenfassen zu der einen Aussage "wenn es nicht regnet ist die Straße nass oder trocken". Es kann ein Hund darauf gepinkelt haben oder die Straßenreinigung war gerade da, dann ist sie nass. Wenn nicht, dann ist sie trocken.

Danke, aber das hilft mir nicht weiter, Sie wiederholen hier schlicht die Definition der Implikation. Mir geht es darum, warum diese Definition auch logisch sinnvoll ist.

Zitat:

Original von Elvis Logisch gesehen folgt jede Aussage aus einer falschen Aussage.

Was ist daran logisch? Eine Aussage folgt logisch aus einer anderen, wenn man beweisen kann, dass die erste aus der zweiten resultiert hat. Das ist es schließlich, was der Ausdruck "A folgt aus B" bedeutet. Wenn kein Zusammenhang zwischen A und B besteht, ist auch keine Bewertung möglich.
Kann es sein, dass diese Definition nicht äquivalent mit dem ist, was man "gesunden Menschverstand" nennt oder ist meine subjektive Logik fehlerhaft?

Zitat:

Original von Dopap Wenn man " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ " als Verknüpfung verwendet, dann ist " $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ "
aber auch eine Verknüpfung . [ dieser Satz ist eine Folgerung (Implikation ) und es macht keinen Sinn den mit Wahrheitswerten zu belegen !!! ]

1. Warum stellen Sie hier eine Folgerung zwischen Implikation und Äquivalenz auf? Nur weil beide Zusammenhänge sind, heißt das nicht, dass aus dem einen das andere folgt. Das ist genauso, wie wenn ich behaupten würde: "Wenn A ein Buchstabe ist, ist B auch ein Buchstabe." Solch ein Kausalzusammenhang erscheint in meinen Augen aber nicht ganz korrekt. Auch wenn die Aussage vielleicht nicht falsch ist, ist sie trotzdem auch nicht richtig. Richtig wäre stattdessen: "A und B sind Buchstaben." Für eine Folgerung gibt es in diesem Beispiel keinen logischen Grund. Wir wissen nicht, ob das eine das andere herbeigeführt hat.
2. Warum macht es keinen Sinn Ihre Aussage mit Wahrheitswerten zu beurteilen? Jeder Aussage lässt sich ein Wahrheitswert zuordnen. Warum würden wir über Aussagen sprechen wollen, von denen wir niemals wissen, ob sie richtig oder falsch sind? Das ist genauso als würden wir nichts sagen.

Zitat:

Original von Dopap Wenn du die Wahrheitstabelle verwenden willst,
dann verwende die Subjunktion von 2 logischen Variablen: $\begin{eqnarray*} A \to B \end{eqnarray*}$ . Das ist dann eine Funktion $\begin{eqnarray*} \{w,f\}^2\to \{w,f\} \end{eqnarray*}$

Also sind Zusammenhänge in der Logik keine Formeln, sondern Funktionen. Interessant, eigentlich auch logisch, schließlich bilden sie eindeutig eine Menge auf eine andere ab.

MfG Michel

22.09.2017, 11:16

Elvis

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Aussagenlogik ist sinnvoll definiert, sie begründet die Logik, die man heute in der Prädikatenlogik vorfindet. Diese Logik passt zur menschlichen Vernunft. Was die Logik sagt, ist per def "logisch". Wenn der Menschenverstand nicht dazu passt, sollte man nicht vom "gesunden Menschenverstand" reden.

Zitat:

Original von Michel99
Eine Aussage folgt logisch aus einer anderen, wenn man beweisen kann, dass die erste aus der zweiten resultiert hat. Das ist es schließlich, was der Ausdruck "A folgt aus B" bedeutet. Wenn kein Zusammenhang zwischen A und B besteht, ist auch keine Bewertung möglich.

Dem kann ich nicht zustimmen. unglücklich

unglücklich

22.09.2017, 11:29

Michel99

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Angenommen: Eine Wand in meinem Haus wird nass. (Erergnis B) Ein Dichtungsring hat sich aufgelöst. (Ereignis A).
Die Folgerung A->B wäre nun: "Da sich ein Dichtungsring aufgelöst hat, wird meine Wand nass." Da aber der Fall nicht A und B in A->B, genauso wie A und B auch mit wahr bewertet wird, ist meine Wand also nass, weil gleichzeitig B und nicht B eintritt? Das ist absurd.
Was ich damit sagen will ist, dass es unzählige Gründe gibt, die ein Ereignis hervorrufen können. Wie kann ich dann also behaupten, dass ein Ereignis, was ich nicht erlebt habe, das selbe Ergebnis hervorrufen kann.
Wenn ich niemals Regen gesehen habe, kann ich nicht beurteilen, ob Regen dazu in der Lage ist, die Straße nass zu machen, nur weil ich weiß, dass die Straße nass werden kann, wenn eine Straßenkehrmaschine drüber fährt.

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22.09.2017, 11:37

Elvis

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Das ist absurd, also hast du etwas missverstanden.

Da sich ein Dichtungsring aufgelöst hat, wird meine Wand nass.
Der Dichtungsring hat sich nicht aufgelöst oder meine Wand ist nass.

passt. $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B\Leftrightarrow \lnot A \lor B \end{eqnarray*}$

Aussagen haben Wahrheitswerte. Sie hängen nicht von Behauptungen, Beweisen, Beurteilungen oder Wissen ab.

22.09.2017, 12:04

Michel99

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Ich glaube ich verstehe langsam, was gemeint ist. Danke für die Geduld.
Wenn A eintritt, muss auch B eintreten. Da aber A->B nicht das gleiche bedeutet wie B->A, kann man durch das Eintreten von B nicht auf das Eintreten von A schließen, da in diesem Fall eine Äquivalenz vorliegen würde. Um dem zu genügen wird, wenn die Prämisse falsch ist, die Aussage unabhängig von der Konklusion mit wahr bewertet. Aber warum bewertet man die Folgerung in diesen Fällen nicht stattdessen mit Falsch? Alle Bedingungen, die ich hier aufgezählt habe, würden auch erfüllt sein, wenn man nicht A und (B oder nicht B) stets mit falsch bewerten würde.

22.09.2017, 12:06

Dopap

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Aus einer Folgerung folgt nicht die Äquivalenz, da hast du recht.
Nur bezieht sich meine Aussage auf den Gebrauch beider Symbole.

Entweder sind Beide Verknüpfungen oder nicht.

22.09.2017, 12:50

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \lnot A \land (B \lor \lnot B)\Leftrightarrow \lnot A \end{eqnarray*}$
Da die Aussage $\begin{eqnarray*} \lnot A \end{eqnarray*}$ von der Aussage $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ unabhängig ist, kann sie nicht die Implikation $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ sein, die ja eine Aussage über den Zusammenhang von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist.

22.09.2017, 13:14

Michel99

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(nicht A) und (nicht B oder B) ist nicht die ganze Implikation, aber der Teil, indem A negiert ist. (A und B) oder (nicht A) wäre dann die ganze Implikation. Und das ist, wie Sie vorherschon angemerkt haben dann (nicht A) oder B. Aber was spricht dagegen A->B nur als A und B zu definieren? Dann wären die beiden Teile mit nicht A falsch anstatt wahr. Trotzdem bleibt die Eigenschaft A->B ungleich B->A erhalten.

22.09.2017, 13:35

Dopap

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die Subjunktion $\begin{eqnarray*} A \to B \end{eqnarray*}$ ist nur falsch bei (1,0) und das ist sinnvoll so.

Das ist aber nicht gleich $\begin{eqnarray*} A \land B \end{eqnarray*}$ denn das ist in 3 Fällen falsch.

22.09.2017, 14:02

Michel99

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Zitat:

Original von Dopap
die Subjunktion $\begin{eqnarray*} A \to B \end{eqnarray*}$ ist nur falsch bei (1,0) und das ist sinnvoll so.

Muss ich mich an dieser Stelle mit der Definition abfinden? Auf mich wirkt die Festlegung der Implikation auf wahr, wenn die Prämisse falsch ist, willkürlich. Wie ich meinte könnte es genauso gut als falsch festgelegt werden.

22.09.2017, 14:06

Dopap

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technisch nochmals:
$\begin{eqnarray*} A\to B \stackrel{?}{\Leftrightarrow} A\land B \end{eqnarray*}$ ?

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8:	P Q ¦ (P -> Q) <-> (P & Q) -----+------------------------ 1 1 ¦ 1 1 1 1 0 ¦ 0 1 0 0 1 ¦ 1 0 0 0 0 ¦ 1 0 0

ist keine Tautologie wie die Wahrheitstabelle mit der Bijunktion <-> zeigt !

22.09.2017, 18:27

Elvis

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@Michel99

Das passt nicht zu deinem Beispielsatz. $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ="es regnet", $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ="die Strasse ist nass". Du akzeptierst als wahr die Aussagen $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ "Wenn es regnet ist die Straße nass" und $\begin{eqnarray*} \lnot(A\Rightarrow \lnot B) \end{eqnarray*}$ "Wenn es regnet ist die Strasse nicht trocken". Nun möchtest du aber festlegen, dass die Aussagen $\begin{eqnarray*} \lnot A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ "Wenn es nicht regnet ist die Strasse nass" und $\begin{eqnarray*} \lnot A\Rightarrow \lnot B \end{eqnarray*}$ "Wenn es nicht regnet ist die Straße trocken" falsch sind. Das geht nicht, denn die Strasse muss nass oder trocken sein. Die Strasse kann sein was sie will, aus dem Nichtregen folgt gar nichts, deshalb haben Logiker sinnvoll festgelegt, dass $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B\Leftrightarrow \lnot A\lor B \end{eqnarray*}$ gilt.

22.09.2017, 19:05

Dopap

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Freude

Genau das wollte ich auch sagen , nur bist du mir zuvorgekommen. Big Laugh

Big Laugh

22.09.2017, 19:36

Elvis

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Prost

Irgendwann durchschaut man die Logik ein wenig, und dann glaubt man auch keine Wahlversprechen mehr. Es kann auch sein, dass man keine Wahlversprechen glauben darf, um die Logik zu verstehen. Jedenfalls hängt beides irgendwie zusammen ... nun wählt mal schön. Big Laugh

Big Laugh

23.09.2017, 13:42

Michel99

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Dass "nicht regnen" lässt quasi zu, dass die Straße nass oder trocken sein kann, denn ihr Zustand wird durch die Folgerung nicht eingeschränkt und deshalb sind beide Fälle wahr... Wenn es dagegen regnen würde, muss die Straße nass sein. Ich denke, ich habe es jetzt begriffen. Danke für die Hilfe, es war eine gute Idee in einem so kompetentem Forum nachzufragen. Tanzen

Tanzen

Trotzdem ist die Implikation nicht unbedingt das, was ich mir unter einer Folgerung vorgestellt hätte. Natürlich ist sie objektiv, aber hier zeigt sich einmal mehr, wie objektives Wissen von subjektiven Vorstellungen abweichen kann.

MfG Michel

23.09.2017, 14:03

Elvis

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Es ist gut und richtig, dass du uns vertraust und glaubst, dass wir dich richtig beraten. Wenn du noch mehr Einsicht in die Wahrheit dessen haben möchtest, was wir dir erklärt haben, dann solltest du folgendes beweisen.

$\begin{eqnarray*} (A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (\lnot B\Rightarrow \lnot A) \end{eqnarray*}$

Das ist die wichtige Idee für den "Beweis durch Widerspruch", und ich bin ziemlich sicher, dass das nur funktioniert, wenn man die Implikation genau so definiert, wie wir es machen, nämlich durch $\begin{eqnarray*} (A\Rightarrow B):\Leftrightarrow (\lnot A \lor B) \end{eqnarray*}$ . Für die falsche Definition $\begin{eqnarray*} (A\Rightarrow B):\Leftrightarrow (A \land B) \end{eqnarray*}$ funktioniert es jedenfalls nicht, und das wäre die Definition, die für falsche $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die Implikation $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ auf falsch setzen würde, so wie du es vorgeschlagen hattest.

23.09.2017, 14:25

Dopap

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Zitat:

Original von Elvis

$\begin{eqnarray*} (A\Rightarrow B)\Rightarrow (\lnot B\Rightarrow \lnot A) \end{eqnarray*}$

Ich bevorzuge ja die Schreibweise der Subjunktion wenn A,B logische Variable sind ( Gründe siehe oben )

$\begin{eqnarray*} (A\rightarrow B)\Rightarrow (\lnot B\rightarrow \lnot A) \end{eqnarray*}$

was aber letztlich egal ist wenn man weiß was man tut.

z.B. kannst du zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} (A\rightarrow B)\rightarrow (\lnot B\rightarrow \lnot A) \end{eqnarray*}$ Wahrform ist.

Es gilt sogar die Äquivalenz, und das firmiert unter Kontraposition.

23.09.2017, 18:13

Elvis

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Ja, genau, danke. Die wichtige Idee für den "Beweis durch Widerspruch" heißt "Kontraposition". Das hatte ich gerade nicht parat und war zu bequem zu suchen.

Ich habe mir noch nicht die Mühe gemacht zu prüfen, ob eine weitere der 16 logischen Funktionen insofern als alternative "Implikation" dienen könnte, dass sie die "Kontraposition" erfüllt. Das ist doch eine schöne Übungsaufgabe für Michel99 ... dann mal los, schule dein Denken, erweitere dein Wissen, und teile deine Erkenntnisse mit ... ich bin echt gespannt, was dabei herauskommt.

23.09.2017, 19:41

Dopap

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ordentlich wie in der Schule Augenzwinkern

Augenzwinkern

:

A B ¦ (A -> B) <-> (¬B -> ¬A)
-----+--------------------------------
1 1 ¦......1........*1 ....0...1....0
1 0 ¦..... 0........*1.....1...0....0
0 1 ¦..... 1........*1.....0...1....1
0 0 ¦......1........*1.....1...1....1

besser krieg ich's nicht hin. Und zu Latex fehlt die Geduld. sorry.

23.09.2017, 20:05

Elvis

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Das zeigt, dass DIESE Definition der Implikation im Sinne der Kontraposition sinnvoll ist.
Ich möchte sehen, warum die 15 alternativen Definitionen in diesem Sinne nicht sinnvoll sind.
Für den Michel99-Vorschlag sieht das so aus:

A B ¦ (A -> B) <-> (¬B -> ¬A)
-----+--------------------------------
1 1 ¦......1........*0 ....0...0....0
1 0 ¦..... 0........*0.....1...0....0
0 1 ¦..... 0........*0.....0...0....1
0 0 ¦......0........*0.....1...1....1

Wenn wir unbestimmte Wahrheitswerte zulassen, wird es noch viel komplizierter, dafür möchte ich alle Tabellen und Beispielsätze mit Regen und nassen Straßen sehen.
Wer damit fertig wird, darf behaupten, er habe sich ernsthaft mit Logik beschäftigt.

24.09.2017, 10:47

Dopap

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Genau !

Und danach hätte ich gerne gewusst, ob folgender logische Satz immer wahr (Tautologie ) ist.

Der Weihnachtsmann ist verheiratet, aber: Semantik ist sehr interessant oder es gibt Einhörner. Wenn das alles stimmt, dann ist Semantik sehr interessant oder auch nicht, oder es stimmt nicht, dass der Weihnachtsmann verheiratet ist und es keine Einhörner gibt

Tipp: Erst Variable definieren und dann Formel aufstellen Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.09.2017, 11:00

Elvis

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Wir haben Michel99 verloren. Lieber Michel, wir machen uns keineswegs über dich lustig. Wir haben Spaß an Logik. Bleib dran, dann hast auch du eines Tages so viel verstanden, dass du nur noch Spaß daran hast. Über den Weihnachtsmann werde ich rechtzeitig (vor Weihnachten) nachdenken.
Jetzt muss ich erst mal 15 Vorlesungen über automorphe Formen zu mir nehmen ( https://www.youtube.com/watch?v=-hnqCkcI...f74XcgnE6KfWXZw ). Als Begleitbuch dazu empfehle ich "Automorphe Formen" von Anton Deitmar, Springer, 2010.

24.09.2017, 11:32

Dopap

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der Link ist hartes Brot !

Zum Weihnachtsmann: geht auch ohne Formel da die Implikation nur in einigen "oder" endet.

24.09.2017, 12:08

Elvis

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"... ist hartes Brot und konzentrierte Kraftnahrung - mit gesunden Zähnen nach Einweichung aber genüßlich zu verzehren" hat Tammo tom Dieck im Vorwort zu seiner "Topologie" 1991, de Gruyter Lehrbuch geschrieben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.09.2017, 11:40

Dopap

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Zum Abschluss noch die Weihnachtsgeschichte.

Der Weihnachtsmann ist verheiratet, aber: Semantik ist sehr interessant oder es gibt Einhörner. Wenn das alles stimmt, dann ist Semantik sehr interessant oder auch nicht, oder es stimmt nicht, dass der Weihnachtsmann verheiratet ist und es keine Einhörner gibt

p: der Weihnachtsmann ist verheiratet
q: Semantik ist sehr interessant
r: es gibt keine Einhörner

$\begin{eqnarray*} (p\land (q\lor \lnot r))\Rightarrow \overbrace{((\underbrace{q\lor \lnot q}_{w})\lor (\lnot p\land r))}^{w} \end{eqnarray*}$

und komplett mit Tafel:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:

P Q R  ¦  (P &(Q v ¬R)) -> ((Q v ¬Q) v (¬P & R))
-------+----------------------------------------
1 1 1  ¦     1    1 0   *1     1 0   1  0  0    
1 1 0  ¦     1    1 1   *1     1 0   1  0  0    
1 0 1  ¦     0    0 0   *1     1 1   1  0  0    
1 0 0  ¦     1    1 1   *1     1 1   1  0  0    
0 1 1  ¦     0    1 0   *1     1 0   1  1  1    
0 1 0  ¦     0    1 1   *1     1 0   1  1  0    
0 0 1  ¦     0    0 0   *1     1 1   1  1  1    
0 0 0  ¦     0    1 1   *1     1 1   1  1  0

ist Tautologie !

26.09.2017, 19:47

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} (A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (\lnot B\Rightarrow \lnot A) \end{eqnarray*}$

Wie schon geschrieben ist das die Idee zum indirekten Beweis durch Kontraposition. Man beweist halt ~B -> A und kann durch die Äquivalenz auf A -> B schließen (und es so beweisen).

Daneben gibt es noch den indirekten Beweis durch Widerspruch. Der geht anders: ~A -> ~~A -> A, d.h. man nimmt ~A an und zeigt, dass ~A falsch ist, also ~(~A) und das ist gleich A.

ME sind das die beiden einzigen Unterarten des indirekten Beweises, oder?

27.09.2017, 15:48

Michel99

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Hallo,
ihr habt mich keineswegs verloren. Big Laugh

Big Laugh

Ich habe meinen Computer nach meiner letzen Antwort lediglich kein einziges mal eingeschaltet (außer vielleicht 3 Stunden für Geogebra). Ich bereite mich intensiv auf mein Studium der Physik vor und habe mich ein paar Tage fanatisch von morgens bis abends mit Vektorrechnung beschäftigt.
Erst jetzt habe ich mich wieder an dieses Forum erinnert. Entschuldigung wegen dieser Respektlosigkeit, aber jetzt werde ich mich wieder diesem Problem zuwenden.
Ich habe mir erstmal alle Aufträge herausgeschrieben. Bis jetzt kenne ich nur einen Bruchteil der logischen Funktionen, aber ichj werde sehen, was ich tun kann.

MfG Michel

27.09.2017, 17:18

Michel99

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Ich habe beide Aussagen mit Wahrheitstafeln überprüft und die Sätze gebildet. Beide Implikationen sind äquivalent. Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass dieses Vorgehen als lückenloser Beweis schon ausreicht.
Wenn es regnet, ist die Straße nass. W <=> Wenn die Straße trocken ist, regnet es nicht. W
Wenn es regnet, ist die Straße trocken. F <=> Wenn die Straße trocken ist, regnet es. F
Wenn es nicht regnet, ist die Straße nass oder trocken. W <=> Wenn die Straße nass ist, regnet es oder es regnet nicht. W

Es ist interessant, dass beide Variablen negiert werden, wenn die Implikation umgekehrt wird. Ich habe auch B->A und (nicht A)->(nicht B) überprüft und festgestellt, das auch diese beiden Aussagen auch äquivalent sind.

Mit 2 Variablen kann man also maximal 2 verschiedene Aussagen durch Implikationen erstellen. Einmal A->B <=> (nicht B)->(nicht A) (*) und einmal B->A <=> (nicht A)->(nicht B).
Mit meinem Definitionsvorschlag wären 4 Kombinationen möglich. Es kann also keine Äquivalenz der Form: A->B <=> (nicht B)->(nicht A) geben.

Dass man dieses Wissen in einer Beweismethdode anwenden kann, hat irgendetwas magisches an sich. Man kann dadurch mit dem Gegenteil des zu Beweisenden anfangen und wenn man zum Gegenteil der Annahme gelangt, ist es das gleiche, wie wenn man von der Annahme zum Beweisenden gekommen ist.
Aber warum nennt man dieses Verfahren den "Beweis durch Widerspruch"? Nehmen wir exemplarisch einen einfachen Beweis durch Wiederspruch, dass sqrt(2) irrational ist. Ich meine hier den einen unter vielen, bei dem angenommen wird, dass die Diagonale m und die Seite n eines Quadrats kommunserabel sind. Unsere Äquivalenzformel (*) mit B: sqrt(2) ist rational und A: n/m sind ungerade wäre dann in Worten:
1: A->B: Wenn n und m ungerade sind, so ist sqrt(2) rational. W
2: (nicht B)->(nicht A): Wenn sqrt(2) irrational ist, sind n und m gerade. W
Wir gehen also von einer falschen Anahme aus und gelangen zu einem falschen Ergebnis. Aber dazu brauchten wir diese Äquivalz (*) nicht. Da beide Aussagen gleich sind, ist es doch egal, ob wir 1 oder 2 unserem Beweis zu grunde legen.

Diese logischen Funktionen Funktionen sehen echt hoch interessant aus, aber ich kann mir nur schwer vorstellen, dass Menschen alle 16 unterbewusst täglich verwenden. Denn das sollen diese Funktionen doch sein oder nicht? Die formalisierten, apriorischen Prinzipien der Logik.
MfG Michel

27.09.2017, 18:33

Elvis

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Der Beweis durch Widerspruch basiert auf der Äquivalenz $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow FALSCH\Leftrightarrow WAHR\Rightarrow \lnot A \end{eqnarray*}$ und darauf, dass man die Implikation richtig definiert hat, nämlich so, dass aus $\begin{eqnarray*} WAHR \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} WAHR \end{eqnarray*}$ folgt, denn wenn $\begin{eqnarray*} \lnot A \end{eqnarray*}$ WAHR ist, so ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ FALSCH. Es ist völlig egal, welche falsche Aussage aus einer Hypothese folgt, wenn eine falsche Aussage folgt, ist die Hypothese falsch.

Die 16 logischen Operationen $\begin{eqnarray*} O(A,B) \end{eqnarray*}$ ergeben sich einfach daraus, dass man die möglichen Wahrheitstafeln betrachtet: $\begin{eqnarray*} O(F,F),O(F,W),O(W,F),O(W,W)\in\{W,F\} \end{eqnarray*}$ . Wenn man $\begin{eqnarray*} F=0, W=1 \end{eqnarray*}$ setzt, sind die Werte genau die Dualzahlen = Dezimalzahlen $\begin{eqnarray*} 0000_2=0_{10},...,1111_2=15_{10} \end{eqnarray*}$

Das sind nur die Aussagen, die auf zwei Aussagen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ beruhen. Man kann endlich viele Aussagen verknüpfen damit es richtig interessant wird. Und in der Prädikatenlogik kann man noch über Variable quantifizieren ... Ja, so fängt die Logik an.

Wer diese grundlegenden Kleinigkeiten heute nicht beherrscht, kann eben nicht logisch denken. Zu Aristoteles Zeiten im klassischen Altertum oder zur Zeit der Scholastik im Mittelalter war das Leben sicher weniger bequem als heute. Wir haben auf einigen Gebieten ein paar Fortschritte gemacht, ohne Logik wären wir nicht da wo wir heute sind. Ohne Logik würden wir heute noch Andersgläubige bekämpfen und Terroranschläge verüben - wie man sieht gibt es immer noch Menschen, denen es an Logik mangelt. Offenbar ist die Aufklärung nicht überall angekommen, es soll ja sogar Präsidenten geben, die nicht logisch denken können. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das musste einfach mal raus, ist nicht persönlich gemeint, ich finde nur außerordentlich schade, dass Leibniz Idee der characteristica universalis nicht zu verwirklichen ist und wir uns mit der beschränkten Logik begnügen müssen, die wir entwickeln können - die Welt wäre zweifellos besser als sie ist, wenn wir wenigstens die vorhandene Logik benutzen würden.

Um die gute Laune wieder zu finden hilft (nicht nur aber auch) Roger Waters: https://www.youtube.com/watch?v=70KFk_M4PNo (siehe 1:18:00 bis 1:30:00, da kommt sogar der Präsident vor, den ich oben gemeint habe Big Laugh

Big Laugh

)

28.09.2017, 17:20

Michel99

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Danke für die Hilfe! Jetzt habe ich erstmal keine Fragen mehr. Big Laugh

Big Laugh

Ich werde versuchen meine Logik weiter auszubauen. Ich finde dieses Fachgebiet wirklich sehr interessant, gerade da die Logik das fundamentale Werkzeug unserer Erkenntnisgewinnung bildet. Deshalb bin ich sehr motiviert, sie gut beherrschen zu lernen.
Leibniz ist mit Abstand der Philosoph, vor dem ich am meisten Respekt habe. Gerade aufgrund seiner Arbeiten auf diesem Gebiet.
Falls ich wieder Fragen haben sollte, weiß ich jetzt wohin ich mich wenden kann. smile

smile

MfG Michel

28.09.2017, 18:32

Elvis

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Leibniz war großartig, aber auch er konnte nicht mehr wissen als seine Zeitgenossen. Es ist das Elend aller Philosophen, dass sie immer auf der Grundlage des Allgemeinwissens denken müssen. Bei Leibniz wird genau wie bei Kant deutlich, dass bis ca. 1830 nur die euklidische Geometrie bekannt war, und dass diese einzig wahre Geometrie für die einzig wahre Geometrie unserer physikalischen Welt gehalten werden musste.

Da hatten Punkte, Geraden, Ebenen und der Raum (und die Zeit) eine feste Bedeutung, über die auch die Philosophen nicht hinausdenken konnten. Entsprechend dürftig und fehlerhaft ist ihre Philosophie der Mathematik ... in 300 Jahren wird man vermutlich dasselbe über die Philosophie der Mathematik im 20./21. Jahrhundert sagen.

Moderne Logik und etwas über das Denken der heutigen Mathematiker kannst du lernen bei Dirk W. Hoffmann "Die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze", Springer 2013 und Dirk W. Hoffmann "Grenzen der Mathematik", Springer 2013. Diese Bücher sind wundervoll präzise und ausführlich geschrieben, lehren auch etwas zur Geschichte der Mathematik, und ihr Studium ist leicht und erleuchtet den Verstand.

29.09.2017, 14:42

Michel99

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Danke für die Buchempfehlung. Ich werde sie in Zukunft auf jeden Fall mal lesen. Big Laugh

Big Laugh

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