Fourier-Reihen

22.09.2017, 17:29

Sito

Fourier-Reihen

Guten Tag zusammen.

Sei die Funktion $\begin{align*} f(x)=x^2-\pi^2 \end{align*}$ gegeben (auf dem Intervall $\begin{align*} [-\pi,\pi] \end{align*}$ ). Zu berechnen ist die Fourierreihe. Nach etwas herumrechnen komme ich auf die Lösung: $\begin{align*} f_n=\frac{2}{n^2}\cos(\pi n) -\frac{2}{\pi^3 n}\sin(n \pi)=\begin{cases} \frac{2}{n^2} \hspace{0.5cm} \text{für $n$ gerade}\\ -\frac{2}{n^2} \hspace{0.5cm} \text{für $n$ ungerade}\end{cases} \end{align*}$ . Nun müsste es ja möglich sein $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ zu schreiben als $\begin{align*} f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}f_ne^{-inx} \end{align*}$ , aber irgendwie bekomme ich das nicht wirklich hin, bzw. ich weiss nicht so recht wie man das vereinfachen soll.

Wäre froh falls da jemand etwas helfen könnte.

Die zweite Frage wäre: Wenn ich als nächstes die Fourierreihe von $\begin{align*} g(x)=(x^2-\pi^2)^2 \end{align*}$ berechnen soll, gibt es da einen Trick, da ich ja vom inneren Teil der Klammer schon die Fourierreihe habe, oder geht da der Spass noch einmal von vorne los?

Gruss Sito

22.09.2017, 22:30

Sito

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Der erste Teil der Frage hat sich soweit geklärt.

$\begin{align*} f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\frac{2}{n^2}(-1)^ne^{inx}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2}{n^2}(-1)^n\underbrace{(e^{inx}+e^{-inx})}_{=2\cos(nx)}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{4}{n^2}(-1)^n\cos(nx) \end{align*}$

Wie man nun aber mit $\begin{align*} g(x) \end{align*}$ am besten verfahren soll bleibt noch offen.

22.09.2017, 23:14

ML_

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RE: Fourier-Reihen

Zitat:

Die zweite Frage wäre: Wenn ich als nächstes die Fourierreihe von [ltex]g(x)=(x^2-\pi^2)^2[/latex] berechnen soll, gibt es da einen Trick, da ich ja vom inneren Teil der Klammer schon die Fourierreihe habe, oder geht da der Spass noch einmal von vorne los?

Schau Dir mal den Satz von Parseval an:
https://de.wikipedia.org/wiki/Parsevalsc...er_Fourierreihe

23.09.2017, 18:09

Sito

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Zuerst mal vielen Dank für den Hinweis!

Ich habe ja wie aus aussieht oben noch den Vorfaktor $\begin{align*} \frac{a_0}{2} \end{align*}$ vergessen. Leider verstehe ich nicht wirklich wie dieser genau entsteht...

Den Satz kenne ich leider nicht, von daher haben sich auch recht schnell einige Fragen aufgetan. Nach dem Satz gilt also $\begin{align*} \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2{\rm{d}}x =\frac{a_0^2}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n^2 \end{align*}$ (da ja bei mir $\begin{align*} b_k=0 \end{align*}$ ).

- Wieso berechnet man $\begin{align*} a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\dd x \end{align*}$ , insbesondere wieso teilt man hier durch $\begin{align*} \pi \end{align*}$ und nicht durch $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ , also die ganze Periode?

- Was ist die genaue Bedeutung von $\begin{align*} \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2\dd x \end{align*}$ ? Erhalte ich so die Fourierkoeffizienten von $\begin{align*} f(x)^2 \end{align*}$ ? Und wenn ja, wieso teilt man hier wieder durch die halbe Periode?

23.09.2017, 18:18

IfindU

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@Sito

Das hängt mit verschiedenen Normierungen zusammnen. Und der Satz hilft dir leider auch nicht. Es wäre auch leicht übertrieben das Integral eines Polynoms mittels Fourierreihe zu bestimmen.

Was du wirklich haben willst, ist dass die Fouriertransformation aus Faltungen Multiplikationen macht und umgekehrt. Hier eine Quelle, direkt auf der ersten Seite Link.

23.09.2017, 20:28

ML_

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Hallo,

Zitat:

Ich habe ja wie aus aussieht oben noch den Vorfaktor $\begin{align*} \frac{a_0}{2} \end{align*}$ vergessen. Leider verstehe ich nicht wirklich wie dieser genau entsteht...

die Transformationen sind nicht immer einheitlich definiert und unterscheiden sich insbesondere in den Vorfaktoren.

- Wenn wir einmal die Fourierreihe mit der komplexen e-Funktion als Aufbaufunktion anschauen (1. Kästchen), dann müssen wir irgendwo den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{T_\mathrm{p}} \end{eqnarray*}$ unterbekommen, der durch die Periodendauer verursacht wird. Den Faktor können wir entweder in der Hintransformation unterbringen oder in der Rücktransformation oder als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{T_\mathrm{p}}} \end{eqnarray*}$ gleichermaßen auf beide Transformationen aufteilen. Die verschiedenen Autoren machen das unterschiedlich.

- Ebenso ist das bei der Fouriertransformation (2. Kästchen) der Fall. In der hier dargestellten Version kommt kein Vorfaktor vor, weil über die Frequenz $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ integriert wird. Sobald wir jedoch über die Kreisfrequenz $\begin{eqnarray*} \omega = 2 \pi f \end{eqnarray*}$ integrieren, müssen wir irgendwo den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi} \end{eqnarray*}$ unterbringen, denn es gilt ja $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}\omega=2 \pi \mathrm{d}f \end{eqnarray*}$ . Wiederum machen manche Autoren das bei der Hintransformation, manche bei der Rücktransformation und wiederum andere teilen es auf.

Also keine Sorge hinsichtlich der Vorfaktoren. Nutze Dein Skript und bleibe einheitlich bei einem System.

Viele Grüße
Michael

Bildquelle: Rupprecht, Signale und Übertragungswege, ISBN 978-3540568537

23.09.2017, 22:06

ML_

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Hallo,

wir fangen hiermit an:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\frac{2}{n^2}(-1)^ne^{inx} \end{eqnarray*}$

Die Koeffizienten lauten:
$\begin{eqnarray*} c_n^{f}=\frac{2}{n} \cdot (-1)^n \end{eqnarray*}$

Die Koeffizienten für die Funktion $\begin{eqnarray*} f^2 \end{eqnarray*}$ lauten dann:

$\begin{eqnarray*} c_n^{f^2}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_{n}^{f} \cdot c_{n-k}^{f} \end{eqnarray*}$

Die Produktbildung im Originalbereich geht in eine Faltung im Frequenzbereich über. Das Spektrum der Originalfunktion hilft also im Sinne eines geringen Rechenaufwands nur bedingt.
Im Gegenteil: Bei der digitalen Signalverarbeitung, wo man überwiegend die diskrete Fouriertransformation (DFT) nutzt, verwendet man überall wo möglich die DFT, da es hierzu einen schnellen Algorithmus (FFT) gibt.
Ausgeschlossen ist aber nicht, dass Du bei der speziellen Aufgabe noch Teile des Problems (z. b. die Faltung) per Hand lösen und weiter vereinfachen kannnst. Das ist aber für praxisnahe Aufgaben aus der Signalverarbeitung (leider) eher die Ausnahme.

Viele Grüße
Michael

PS: Hier ein kleines Skript für Matlab oder GNU Octave Wenn Du N hochsetzt, erhöhst Du die Genauigkeit der Approximation

%% Funktion und ihre Approximation
N = 2; %% Approximationsgenauigkeit
x=-pi:0.01*pi:pi;
f=x.^2-pi^2;

figure(1);
clf;
plot(x,f,'b-','linewidth',2);

f1 = ones(1,length(f)); %% Gleichanteil
f1 = f1*sum(f)/length(f);
for n=1:N,
f1 = f1 + 4/n^2*(-1)^n*cos(n*x);
end;

hold on;
plot(x,f1,'ro');

%% Quadrat der Funktion
figure(2);
clf;
plot(x,f.*f,'b-','linewidth',2);

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