Beweis, dass jede ganzrationale Funktion 4. Grades mindestens eine Extremstelle hat

23.09.2017, 09:25

Sefja

Beweis, dass jede ganzrationale Funktion 4. Grades mindestens eine Extremstelle hat

Meine Frage:
Hallo,
wir sollen nachweisen, dass jede ganzrationale Funktion 4. Grades mindestens eine Extremstelle hat. Dabei komme ich aber leider nicht weiter, ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte!

Meine Ideen:
Die Allgemeine Funktionsgleichung ist ja f(x) = ax^{4}+ bx^{3} + cx^{2}+ dx + e .
Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle ist f'(x)=0.
f'(x) = 4ax{3}+ 3bx{2} + 2cx + d
0 = 4ax{3}+ 3bx{2} + 2cx + d
Da könnte man dann x ausklammern: 0 = x(4ax^{2} + 3bx+ 2c)
Wenn man das dann umformt, kommt man auf: x = \frac{-b}{4ax^{2}+3bx+c }
Aber dann sind da ja immer noch mehrere x in der Gleichung. Es gibt ja höchstens 3 Nullstellen in der Ableitungsfunktion (also Extremstellen). Wenn ich versuche, die anderen x auszurechnen, komme ich aber zu keinem passendem Ergebnis.

23.09.2017, 10:39

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis, dass jede ganzrationale Funktion 4. Grades mindestens eine Extremstelle hat

Zitat:

Original von Sefja
[...]

$\begin{eqnarray*} 0 = 4ax^{3}+ 3bx^{2} + 2cx + d \end{eqnarray*}$
Da könnte man dann x ausklammern: $\begin{eqnarray*} 0 = x(4ax^{2} + 3bx+ 2c) \end{eqnarray*}$

Wo ist das d geblieben.

Was ist denn die hinreichende Bedingung für ein relatives Extrema ?

23.09.2017, 10:55

Sefja

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja, das d habe ich ganz vergessen: $\begin{eqnarray*} 0 = x(4ax^{2}+3bx+ 2c)+d \end{eqnarray*}$
Die hinreichende Bedingung ist $\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \wedge f''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Aber dafür müsste die notwendige Bedingung doch erst erfüllt sein, oder?

23.09.2017, 11:22

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ist die notwendige Bedingung $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ immer erfüllt ?

23.09.2017, 12:55

Sefja

Auf diesen Beitrag antworten »

Die notwendige Bedingung ist doch nur bei bestimmten x-Werten erfüllt?

23.09.2017, 14:08

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

natürlich klar, man meint :

Gibt es immer (mindestens) ein $\begin{eqnarray*} x_t \end{eqnarray*}$ für das gilt : $\begin{eqnarray*} f'(x_t)=0 \end{eqnarray*}$ ?

oder:

hat $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ immer mindestens eine Lösung ?

23.09.2017, 16:49

Sefja

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das nicht das gleiche?

23.09.2017, 17:14

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das ist das Gleiche deshalb das "oder".

Kannst du jetzt mal endlich klären warum das gilt ?

Neue Frage »

Antworten »

Beweis, dass jede ganzrationale Funktion 4. Grades mindestens eine Extremstelle hat

Verwandte Themen